数学·专题指导例析直线的参数方程□茆庆东直线参数方程的应用很广泛，用好它，许多问题剖析此参数方程不是标准形式，这里的参数t可迎刃而解.运用直线的参数方程解题时，如果不注并不具有标准形式里的几何意义（即有向线段的数量）.意参数的几何意义，就会出现错误本文例析直线的2%l.22姨2，2x=1-l参数方程，让同学们从另外一个角度去认识直线（参222正解1化为标准形式，有2（l是参数）数式），更好地理解和掌握直线参数方程的本质2%.22姨22y=2+lx=x+lcosα，2教材中给出了直线的参数方程：022y=y+lsinα%%0（设l=姨2），代入t2x+y-2=0，解得l=2姨2，由参数l的（其中为参数，为直线的倾斜角，（，）为直线上lαP0x0y0几何意义，得|PQ|=|l|=2%2.的一点）参数的几何意义是有向线段的数量，姨.lP0P即表示直线上的点（，）到点（，）的距离我正解2化为普通方程，消参，有x+y-3=0，|l|PxyP0x0y0.%们称此形式为直线的参数方程的标准形式.与2x+y-2=0联立，解得Q（-1，4），故|PQ|=2姨2.有时，直线的参数方程不是以标准形式出现评注若题目给出的直线的参数方程不是标，准形式，而解题时仍然将其当作标准形式直接求解，的如x=x0+al（其中为参数，（，）为直线上的.lP0x0y0y=y0+bl则往往导致错解.遇到这样情形，一般有两种解决的一点）.只有当a2+b2=1且b≥0时，参数l才有标准形式策略，一是将参数方程转化为标准形式，二是将参数b中的几何意义，此时tanα=；而当a2+b2≠1或b＜0时，方程转化为普通方程，然后再求解.a从上面两例也可以看出，运用直线的参数方程（标参数l就没有标准形式中的几何意义，这时可令l′=准形式），有时能使解题过程变得简捷如例，利用%.2姨a2+b2l，新参数l′才具有标准形式中的几何意义.参数l的几何意义，处理得直观而流畅.其实，标准形x=1+lcos40°，例1求直线（l为参数）的倾斜角.式中参数l的几何意义用途很多.姨y=2-lsin40°π错解倾斜角为例3经过点P（-1，2），倾斜角为的直线l与40°.4剖析误把此参数方程当作是标准形式，其圆x2+y2=9相交于A，B两点，求|AB|以及|PA·||PB|的值.实，不满足标准式-sin40°＜0.2%22姨2，，2x=-1+tx=1+tcos140°2正解1化为标准形式，有（t为参22解直线l的方程可写成2（t为参y=2+tsin140°2%22姨2数）（设），故倾斜角为2y=2+tt=-l140°.222正解2化为普通方程，消参，有y-2=-tan40°（x-%数），代入圆的方程，整理得t2+姨2t-4=0.1），故斜率k=-tan40°=tan140°，故倾斜角为140°.设点，对应的参数分别是，，则%，ABt1t2t1+t2=-姨2x=1-t，例2已知直线l的参数方程为（t是参数），直tt=-4，y=2+t12于是%（）2%，线l与直线2x+y-2=0交于点Q，又点P为（1，2），求|PQ|.|AB|=|t1-t2|=姨t1+t2-4t1t2=3姨2|PA·|x=1-t，|PB|=|t1·||t2|=|t1t2|=4.错解将代入，解得，则2x+y-2=0t=2评注解决本题的关键，一是明白直线的参数y=2+t|PQ|=|t|=2.方程的标准形式，二是清楚直线上的点对应的参数的37数学·专题指导几何意义.遇到弦长（距离）问题，常用|AB|=|t-t|=12例5已知过双曲线b2x2-a2y2=a2b2上任一点P作%（）2；遇到中点（弦）问题，常用等注姨t1+t2-4t1t2t1+t2=0.切线与双曲线的渐近线交于A，B两点.求证：点P是线意结合韦达定理求解.段AB的中点.x2y2例4（2008安徽理科卷）设椭圆C：+=1证明如右图，因为双曲a2b2线的渐近线方程为b，（）过点（%，），且左焦点为（%，）y=±xa＞b＞0M姨21F1-姨20.a（）求椭圆的方程；1C，b所以可设A为x1x1，（2）当过点P（4，1）的动直线t与椭圆C相交于两≠a≠姨姨不同的点A，B时，在线段AB上取一点Q，满足|AP|·为，b，故直线的两点式参数方程为姨姨姨姨姨姨Bx2-x2AB|QB|=|AQ·||PB|，证明：点Q总在某定直线上.≠a≠22λxyλx1+λx2解（）椭圆的方程为（过程略）λx=，1C+=1.λ42λ1+λλλ，λ（λ为参数，λ≠-1）.