2009年直线和圆的方程考题例析赵春祥河北省特级教师河北省乐亭二中063600电话：0315——4695589(宅)4601322(学校)电子信箱：zcxhblt@163．Com直线和圆的方程是最简单、最基本的几何图形，是进一步研究圆锥曲线的基础，因而成为高考必考内容之一．纵观历年各个不同类型的高考试题，这部分内容在高考试卷中出现频繁，既考查基础知识的应用能力，又考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力．从2009年的高考试题看，又强化了与其它知识网络综合题的考查，这也是今年高考试题中的一个新的动向．例1(2009年全国高考四川卷理科试题)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是A．12万元B．20万元C．25万元D．27万元解：设生产甲产品吨，生产乙产品吨，则有关系：A原料B原料甲产品吨32乙产品吨3则有：目标函数，作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：当＝3，＝5时可获得最大利润为27万元，故选D．评析：本题主要考查线性规划和化归的数学思想，解题关键是准确地画出线性约束条件表示的平面区域，是解决此类问题的必备能力．线性规划考查的热点多集中在基础知识的灵活运用能力．这类问题有许多源于生活，常与多种数学知识点相联结，具有较强的综合性、应用性和开放性．例2(2009年全国高考湖南卷理科试题)已知D是由不等式组，所确定的平面区域，则圆在区域D内的弧长为()．A．B．C．D．解：如图示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率分别是，，所以圆心角即为两直线的所成夹角，所以，所以，而圆的半径是2，所以弧长是，故选B．评析：本题主要考查线性规划、两直线所成的角、圆的方程与弧长等综合知识．例3(2009年全国高考陕西卷理科试题)过原点且倾斜角为的直线被圆学所截得的弦长为()．A．B．2C．D．解：∵，∴，又过点(0，0)，则：，即，配方得圆心到直线的距离为=1，，故选D．评析：本题考查直线倾斜角与斜率的概念，直线方程的点斜式，直线与圆的位置关系及运算能力，同时也考查数形结合的思想方法．例4(2009年全国高考辽宁卷理科试题)已知圆C与直线x－y=0及x－y－4=0都相切，圆心在直线x＋y=0上，则圆C的方程为()．A．B．C．D．解：由题意知直线x－y=0及x－y－4=0平行，故它们之间的距离即为圆的直径，所以，解得．设圆心坐标为，，则满足点P到两条直线的距离都等于半径，所以有，，解得=1，因此圆心的坐标为(－1，1)，所以圆的标准方程为，故选B．评析：本题考查直线与圆的位置关系和求解圆的方程问题，两条平行直线间的距离公式是点到直线的距离公式的一个具体运用．例5(2009年全国高考天津卷理科试题)若圆与圆(a>0)的公共弦的长为，则___________．解：依题意画出两圆位置如图所示(图略)，由已知的半径为，由图可知，解之得=1．评析：本题考查圆与圆的位置关系，以及圆的相关性质．例6(2009年全国高考卷二理科试题)已知为圆：的两条相互垂直的弦，垂足为1，，则四边形的面积的最大值为．解：当中有一条直线的斜率不存在时，．当的斜率存在时，设：，：，则圆心到的距离分别为、分别为：=，==，，．四边形的面积≤4－＋4－=8－3=5＞，故面积的最大值为5．xyy＋2x=4y＋x=s评析：直线方程中的基本运算问题重点考查与直线方程特征值(主要指直线的斜率、直线的倾斜角、图象)有关的问题点，通常是以选择题或填空题的形式出现在考卷上．例7(2009年全国高考广东卷理科试题)已知曲线与直线：交于两点和，且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域(含边界)为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合．(1)若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；w．w．w．k．s．5．u．c．o．m(2)若曲线与有公共点，试求的最小值．解：(1)联立与得，则中点，设线段的中点坐标为，则，即，又点在曲线上，∴化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，则，即，∴中点的轨迹方程为()．xAxBD(2)曲线：，即圆：，其圆心坐标为，半径由图可知，当时，曲线与点有公共点；当时，要使曲线：与点有公共点，只需圆心到直线：的距离，得，则的最小值为．评析：本题主要考查直线与圆、直线与曲线的位置关系、几何性质以及轨迹问题．从而侧重考查函数与方程思想、代数推理证明能力和运算技能．例8(2009年全国高考江苏卷理科试