4.1群、置换、循环考虑下面的计数问题：把一个22的方格棋盘用蓝或白两色涂色，如果棋盘可以随意转动，问有多少种不同的涂色方案？1.群的概念人们试图对次数更高的方程得到类似的求解公式。1545年,卡尔达塔(Cardano)在他的《大术》(ArsMagna)一书中公开发表了丰塔那的方法。这部书还讲述了费拉里(Ferrari)求解四次方程的方法。拉格朗日(Lagrange)在1770年猜测：这样的求根公式不存在。在这一时期，碰巧还有一位年轻人也在勤奋地钻研这个问题，而且最终取得了成功，他就是伽罗华(Galois)。15岁参加声望很高的巴黎高等工科大学的入学考试时，伽罗华失败了，不得不进入普通的师范学校。1829年7月，他在巴黎高等工科大学的入学考试中再次失败.怀着沮丧之情，伽罗华于1830年初又向科学院提交了另一篇论文，这次是为竞争一项数学大奖。三失手稿，加之考巴黎高等工科大学两度失败，伽罗华遂对科学界产生排斥情绪，变成了学生激进分子，被学校开除。他放弃了一切希望，参加了国民卫队。在那里和他在数学界一样运气不佳。他刚加入不久，卫队即遭控告阴谋造反而被解散。7月4日，他终于打听到他给科学院的那篇论文的命运：因“无法理解”而遭拒绝。审稿人是著名的数学家泊松(Poisson)。1832年5月29日，决斗的前夜，伽罗华写了封很长的信给他的朋友舍瓦利耶(A.Chevalier)，其中大致描述了他的数学理论，从而给数学界留下了唯一一份它将蒙受何等损失的提要。给定一个集合G={a,b,c,…}和集合G上的二元运算•，满足如下条件：例G={1,-1}在普通乘法下是群。置换群是最重要的有限群，所有的有限群都可以用它表示。置换的乘法运算：设类似有：于是我们定义乘法如下：可以证明，[1,n]上所有的置换按上述乘法构成一个群，即满足例等边三角形的运动群。绕中心转动0，120，240，绕对称轴翻转。3.循环若两个循环无共同文字，则称为不相交的。2阶循环称为对换。定理：Sn中所有偶置换构成一阶为(n!)/2的子群。称为交错群，记做An。