2015年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测文科数学参考答案及评分标准一、选择题：每小题5分，共50分1~5：CBDCA.6~10：DBADB二、填空题：每小题5分，共25分（11）.（12）.（13）.（14）3.（15）①④.三、解答题：本大题共6个小题，满分75分第（16）题图（16）(本题小满分12分)如图，平面四边形中，，且.（Ⅰ）求∠；（Ⅱ）求四边形的面积.解：（Ⅰ）由余弦定理得：；，，，.………………………………………………6分（Ⅱ）由三角形面积公式，得：，，故，四边形的面积.…………………………12分（17）（本小题满分12分）在某校举办的体育节上，参加定点投篮比赛的甲、乙两个小组各有编号为1，2，3，4的4名学生.在比赛中，每人投篮10次，投中的次数统计如下表：学生1号2号3号4号甲组6697乙组9874（Ⅰ）从统计数据看，甲、乙两个小组哪个小组成绩更稳定（用数据说明）？（Ⅱ）从甲、乙两组中各任选一名同学，比较两人的投中次数，求甲组同学投中次数高于乙组同学投中次数的概率.解：（Ⅰ）两个班数据的平均值都为7，甲班的方差，……………………2分乙班的方差.……………………4分因为，甲班的方差较小，所以甲班的成绩比较稳定.……………………5分（Ⅱ）将甲班1到4号记作，乙班1到4号记作，从两班中分别任选一个同学，得到的基本样本空间为，由16个基本事件组成，这16个是等可能的.……………………8分将“甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数”记作事件，则，由6个基本事件组成，……………………10分所以甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率为.…………12分（18）（本小题满分12分）在三棱柱中，，．分别是的中点.第（18）题图（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，求证：面；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，，，求三棱锥的体积．解：（Ⅰ）取中点，连接，∵是的中点，∴，且；又∵，是的中点，∴，且，∴四边形是平行四边形，∴，而平面，平面，∴平面.……4分（Ⅱ）∵，，而，∴平面，∴．又∵，，∴面．………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）的结论得，∵，∴平面；∵，∴平面.由可知，平面；∵，，∴，∴三棱锥的体积：.………………12分（19）（本题满分13分）设数列的前项和为，且，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和.解：（Ⅰ）∵，∴，两式相减，得；……………………………………4分又，∴，∴.……………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，所以，，…………8分（解法1）则，，两式相减，得，所以.……………………13分（解法2）设，∴；∴.……………13分（20）（本题满分13分）已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线交椭圆于、两点，是坐标原点，且，求直线的方程．解：（Ⅰ）在椭圆上，；又，，解得，故所求椭圆方程为.……………………5分（Ⅱ），.当直线的斜率不存在时，直线的方程为，由，与矛盾，故直线的斜率存在且不为零.设直线的方程为，，由，得，，，，由，得解得所以所求直线的方程为或.………………13分（21）（本题满分13分）已知函数.（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）若的图象存在公共切线，求的取值范围.解：（Ⅰ）∵，∴，的单调递增区间是和，单调递减区间是；.…………6分（Ⅱ）设的公切线的斜率为，与图象的切点分别是，，若不存在，则不是图象的切线，所以存在.则，代入①，得，根据题意，此关于的方程有解..………………10分令，则有零点.∵，∴在上单调递减，在上单调递增.，∴有零点当且仅当，解得，即所求的取值范围是.………………13分