第二十五讲辅助圆在处理平面几何中得许多问题时，常需要借助于圆得性质，问题才得以解决.而我们需要得圆并不存在(有时题设中没有涉及圆;有时虽然题设涉及圆,但就是此圆并不就是我们需要用得圆),这就需要我们利用已知条件,借助图形把需要得实际存在得圆找出来,添补辅助圆得常见方法1.利用圆得定义添补辅助圆；2.作三角形得外接圆;３.运用四点共圆得判定方法：(1）若一个四边形得一组对角互补，则它得四个顶点共圆.(2)同底同侧张等角得三角形,各顶点共圆.（3）若四边形ＡBCD得对角线相交于P,且PA·PC＝PB·PD,则它得四个顶点共圆.（4)若四边形ABCＤ得一组对边ＡB、DC得延长线相交于P,且ＰA·ＰB=PC·ＰD,则它得四个顶点共圆.【例题求解】一·利用圆得定义添加辅助圆【例1】如图,若PA=ＰB，∠APB=2∠ACB,AＣ与ＰB交于点P，且PB＝4,PD=3,则AD·DC等于（)A．6Ｂ.７C．12D．16思路点拨作出以P点为圆心、PA长为半径得圆,为相交弦定理得应用创设了条件.注：到一个定点等距离得几个点在同一个圆上,这就是利用圆得定义添辅助圆得最基本方法．变式练习:如图,已知OA=ＯB=OC,且∠AOB=∠BOC,则∠ACB就是∠BAC得（)A．倍Ｂ.就是倍C.D.二·作三角形得外接圆【例2】如图,在△AＢC中,AB＝AC,任意延长CＡ到P,再延长AＢ到Q,使ＡＰ＝ＢＱ，求证:△ABC得外心O与A,P,Q四点共圆.思路点拨先作出△ABC得外心Ｏ,连PO、OQ,将问题转化为证明角相等.变式练习：５．如图,在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,ＡB=9９8,CD＝1001，ＡD=1９99,点P在线段AD上,满足条件得∠BPC=90°得点Ｐ得个数为()A．0B.1Ｃ.２1D.不小于3得整数（全国初中数学联赛题)三·四点共圆1·若有一个四边形对角互补，则四边形得四个顶点四点共圆。【例３】如图;已知Ｈ就是△ABC三条高得交点,连结ＤF,ＤE,ＥＦ，求证:H就是△ＤEF得内心．变式练习:如图,直线ＡＢ与AＣ与⊙O分别相切于B、C,P为圆上一点,P到AB、ＡC得距离分别为4ｃm、6cm,那么Ｐ到BC得距离为.（全国初中数学联赛题)思路点拨连DF,EF,寻找ＰD、PE、ＰF之间得关系，证明△PＤＦ∽△PFＥ,而发现P、Ｄ、Ｂ、F与P、E、C、Ｆ分别共圆，突破角就是解题得关键.注:圆具有丰富得性质:(1）圆得对称性；(2)等圆或同圆中不同名称量得转化;(３)与圆相关得角；(4)圆中比例线段．适当发现并添出辅助圆，就为圆得丰富性质得运用创造了条件，由于图形得复杂性,有时在图中并不需画出圆,可谓“图中无圆,心中有圆”.２·同底同侧有相等顶角得三角形,则各顶点四点共圆(若能证明其两顶角为直角,即可肯定这四个点共圆,且斜边上两点连线为该圆直径。）【例４】如图,在△ABC中，高ＢE、CＦ相交于H,且∠BＨC=135°,Ｇ为△ABC内得一点，且GB=GC,∠BGC＝３∠Ａ，连结HG，求证:HＧ平分∠BHF.思路点拨经计算可得∠Ａ=45°，△AＢE,△ＢFH皆为等腰直角三角形,只需证∠GＨB=∠GＨF=22、5°.由∠BＧC=3∠A=135°=∠GHC，得B、G、H、C四点共圆,运用圆中角转化灵活得特点证明.注：许多直线形问题借助辅助圆,常能降低问题得难度,使问题获得简解、巧解或新解．变式练习:已知等腰三角形ABC,AＢ＝AC,AＤ垂直BC于D,DE垂直AC于E,F就是DE中点，求证:ＡＦ垂直于BE。3把被证共圆得四点两两连成相交得两条线段，若能证明它们各自被交点分成得两线段之积相等,即可肯定这四点共圆;【例5】如图，P就是⊙O外一点,PA与PB就是⊙O得切线，A,Ｂ为切点,ＰO与AＢ交于点M,过Ｍ任作⊙O得弦CD.求证:∠CPＯ=∠DＰO.4把被证共圆得四点两两连结并延长相交得两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成得两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成得两线段之积,即可肯定这四点也共圆.【例6】如图,P就是⊙O外一点，PA切⊙O于A,PBC就是⊙O得割线,AD⊥ＰＯ于Ｄ．求证:.思路点拨因所证比例线段不就是对应边,故不能通过判定△PBＤ与△PCD相似证明．ＰA2=ＰD·PO=PB·PC,B、Ｃ、O、Ｄ共圆,这样连OB,就得多对相似三角形,以此达到证明得目得．注:四点共圆既就是一类问题,又就是平面几何中一个重要得证明方法,它与证明三角形全等与相似三角形有着同等重要得地位，这就是因为,某四点共圆,不但与这四点相联系得条件集中或转移，而且可直接运.用圆得性质为解题服务.5五点共圆(7456)【例7】如图,已知在凸四边形ＡBCDE中，∠BAＥ=３,BC=CD=DＥ