板块命题点专练（四）命题点一导数的运算及几何意义命题指数：☆☆☆☆☆难度：中、低题型：选择题、填空题1.(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.解析：∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1.又f(1)＝a＋2，∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.答案：12．(2016·全国丙卷)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．解析：因为f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝lnx－3x，所以当x>0时，f′(x)＝eq\f(1,x)－3，则f′(1)＝－2.所以y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.答案：y＝－2x－13．(2015·全国卷Ⅱ)已知曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.解析：法一：∵y＝x＋lnx，∴y′＝1＋eq\f(1,x)，y′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,))x＝1＝2.∴曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.∵y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，∴a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1，,y＝ax2＋a＋2x＋1，))消去y，得ax2＋ax＋2＝0.由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.法二：同法一得切线方程为y＝2x－1.设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，axeq\o\al(2,0)＋(a＋2)x0＋1)．∵y′＝2ax＋(a＋2)，∴y′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,))x＝x0＝2ax0＋(a＋2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2ax0＋a＋2＝2，,ax\o\al(2,0)＋a＋2x0＋1＝2x0－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－\f(1,2)，,a＝8.))答案：8命题点二导数的应用命题指数：☆☆☆☆☆难度：高、中题型：选择题、填空题、解答题1.(2014·全国卷Ⅱ)若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是()A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．2，＋∞)D．1，＋∞)解析：选D因为f(x)＝kx－lnx，所以f′(x)＝k－eq\f(1,x).因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x>1时，f′(x)＝k－eq\f(1,x)≥0恒成立，即k≥eq\f(1,x)在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x>1，所以0<eq\f(1,x)<1，所以k≥1.故选D.2.(2016·全国乙卷)若函数f(x)＝x－eq\f(1,3)sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是()A．－1,1]B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,3)))解析：选Cf′(x)＝1－eq\f(2,3)cos2x＋acosx＝1－eq\f(2,3)(2cos2x－1)＋acosx＝－eq\f(4,3)cos2x＋acosx＋eq\f(5,3)，f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0在R上恒成立，令cosx＝t，t∈－1,1]，则－eq\f(4,3)t2＋at＋eq\f(5,3)≥0在－1,1]上恒成立，即4t2－3at－5≤0在－1,1]上恒成立，令g(t)＝4t2－3at－5，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g1＝4－3a－5≤0，,g－1＝4＋3a－5≤0，))解得－eq\f(1,3)≤a≤eq\f(1,3)，故选C.3．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x