板块命题点专练（八）命题点一数列的概念及表示命题指数：☆☆☆☆难度：中、低题型：选择题、填空题1．(2014·辽宁高考)设等差数列{an}的公差为d，若数列{2a1an}为递减数列，则()A．d<0B．d>0C．a1d<0D．a1d>0解析：选C∵数列{2a1an}为递减数列，a1an＝a1a1＋(n－1)d]＝a1dn＋a1(a1－d)，等式右边为关于n的一次函数，∴a1d<0．2．(2014·全国卷Ⅱ)数列{an}满足an＋1＝eq\f(1,1－an)，a8＝2，则a1＝________．解析：将a8＝2代入an＋1＝eq\f(1,1－an)，可求得a7＝eq\f(1,2)；再将a7＝eq\f(1,2)代入an＋1＝eq\f(1,1－an)，可求得a6＝－1；再将a6＝－1代入an＋1＝eq\f(1,1－an)，可求得a5＝2；由此可以推出数列{an}是一个周期数列，且周期为3，所以a1＝a7＝eq\f(1,2)．答案：eq\f(1,2)3．(2014·安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2eq\r(2)．过点A作BC的垂线，垂足为A1；过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；…，依此类推．设BA＝a1，AA1＝a2,A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则a7＝________．解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2eq\r(2)，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝eq\r(2)，A1A2＝a3＝1，…，A5A6＝a7＝a1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))6＝eq\f(1,4)．法二：求通项：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2eq\r(2)，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝eq\r(2)，…，An－1An＝an＋1＝sineq\f(π,4)·an＝eq\f(\r(2),2)an＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))n，故a7＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))6＝eq\f(1,4)．答案：eq\f(1,4)命题点二等差数列与等比数列命题指数：☆☆☆☆☆难度：中、低题型：选择题、填空题、解答题1．(2016·全国乙卷)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝()A．100B．99C．98D．97解析：选C法一：∵{an}是等差数列，设其公差为d，∴S9＝eq\f(9,2)(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3．又∵a10＝8，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝3，,a1＋9d＝8，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－1，,d＝1.))∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98．故选C．法二：∵{an}是等差数列，∴S9＝eq\f(9,2)(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3．在等差数列{an}中，a5，a10，a15，…，a100成等差数列，且公差d′＝a10－a5＝8－3＝5．故a100＝a5＋(20－1)×5＝98．故选C．2．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝()A．5B．7C．9D．11解析：选A∵a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1，∴S5＝eq\f(5a1＋a5,2)＝5a3＝5，故选A．3．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝()A．21B．42C．63D．84解析：选B∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21．∴1＋q2＋q4＝7，解得q2＝2或q2＝－3(舍去)．∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42．4．(2015·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝()A．eq\f(17,2)B．eq\f(19,2)C．10D．12解析：选B∵{an}的公差为1，∴S8＝8a1＋eq\f(8×8－1,2)×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6．又∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝eq\f(1,2)，∴a10＝a1