§3.1问题(wèntí)的提出n阶线性方程组§3.1问题(wèntí)的提出§3.1问题(wèntí)的提出§3.1问题(wèntí)的提出§3.1问题(wèntí)的提出§3.1问题(wèntí)的提出§3.1问题(wèntí)的提出§3.1问题(wèntí)的提出§3.1问题(wèntí)的提出【历史注记】线性代数方程组数值解法有着悠久的历史。我国古代数学著作《九章算术》(公元1世纪)的“方程”章中就有了较好的线性方程组数值解法－－相当于现代对方程组的增广矩阵进行初等变换、消去未知数的方法。中世纪的印度数学家也可以(kěyǐ)求解线性方程组。例如12世纪的婆什迦罗的著作中，也有求解线性方程组的内容。在欧洲，16世纪(shìjì)的比特奥在其《算术》（1559）中采用了与《九章算术》类似的消元法。日本数学家关孝和在其《解伏题之法》一书(1683)中首先采用了类似于现代行列式法求解了三元线性方程组。稍后，莱布尼茨提出关于行列式解线性方程组的思想(1693)。1721年马可劳林用行列式展开式的方法给出了二元、三元、四元线性方程组的解法，但他的符号记法不完善。1750年，克莱姆给出了现在比较通用的线性方程组行列式解法，即克莱姆法则。1764年，贝祖用行列式建立了线性方程组的一般理论。但由于当时(dàngshí)计算的效率很低，这一理论几乎只有理论的意义，实际上只能求出未知数很少的线性代数方程组的解。只是在20世纪中叶电子计算机问世并投入应用之后，大型线性代数方程组的数值求解才成为可能。如何利用计算机更精确、更有效地求解大型线性方程组，是计算数学中最重要的课题之一。现代计算实践中，常用的线性代数方程组数值解法有直接法和迭代法两大类。直接法是在没有舍入误差的假设下，经过有限次运算(yùnsuàn)就可得出方程组的精确解的方法，如各种消元法。迭代法则采用逐次逼近的方法,即从一个初始值出发，按照一定的计算格式(迭代公式)，构造一个向量的无穷序列，其极限才是方程组的精确解，用有限次运算得不到精确解。迭代法是牛顿最先提出来的，1940年经司威尔提出的松弛法也是一种(yīzhǒnɡ)迭代法，共轭梯度法则是另一种(yīzhǒnɡ)迭代法，是弗莱彻等人于20世纪60年代提出来的。例3.1§3.1问题(wèntí)的提出§3.1问题(wèntí)的提出§3.1问题(wèntí)的提出§3.1问题(wèntí)的提出§3.1问题(wèntí)的提出§3.1问题(wèntí)的提出§3.1问题(wèntí)的提出§3.1问题(wèntí)的提出§3.1问题(wèntí)的提出§3.2雅可比迭代(diédài)(Jacobiiteration)§3.2雅可比迭代(diédài)把系数矩阵分解为A=U+D+L，其中U为由A上三角部分(bùfen)构成的上三角阵，L为由A下三角元素构成的下三角阵，D为由A对角线元素构成的对角阵。§3.2雅可比迭代(diédài)于是(yúshì)原方程组为(U+D+L)x=b例3.3用Jacobi迭代(diédài)格式解下面方程组。§3.2雅可比迭代(diédài)§3.3高斯(ɡāosī)－塞德尔迭代(Gauss-Seideliteration)在雅可比迭代(diédài)中,计算第k+1次迭代(diédài)近似值时用的是上一次即第k次的近似值，从式写成矩阵(jǔzhèn)形式为：其中(qízhōng)例3.4用Gauss-Seidel迭代格式解下面方程组，精确(jīngquè)到3位有效数。§3.3高斯(ɡāosī)－塞德尔迭代§3.4逐次(zhúcì)超松弛迭代法(SOR)(SuccessiveOverrelaxationMethod)逐次超松弛迭代(diédài)简称SOR方法，是高斯－塞得尔法的一种加速方法。§3.4逐次(zhúcì)超松弛迭代法超松弛迭代(diédài)式的矩阵形式(证明(zhèngmíng))由高斯－塞德尔公式(gōngshì)推导。(证明(zhèngmíng))§3.5迭代法的收敛性(convergence)矩阵(jǔzhèn)的特征值的绝对值最大值称为矩阵(jǔzhèn)A的谱半径，即§3.5迭代法的收敛性§3.5迭代法的收敛性定理：如果方程组Ax=b的系数(xìshù)阵对角占优，则方程组有唯一解且对任意初始向量x0雅可比迭代和高斯－塞德尔迭代都收敛于真解。？？？？？、、定理(dìnglǐ)：如果方程组Ax=b的系数阵对称正定，则方程组有唯一解且对任意初始向量x0高斯－塞德尔迭代收敛于真解。Jacobi迭代(diédài)格式的收敛性§3.5迭代法的收敛性例3.5讨论(tǎolùn)用Jacobi迭代格式解方程组的收敛性。展开(zhǎnkāi)得Gauss-Seidel迭代(