矩阵与线性方程组（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）第一章矩陣與線性方程組1-1矩陣的意義定義：數學上，一個m×n矩陣乃一m列n行的矩形陣列。矩陣由數組成，或更一般的，由某環中元素組成。【例】以下是一個4×3矩陣：某矩陣A的第i列第j行，或i,j位，通常記為A[i,j]或Ai,j。在上述例子中A[2,3]=7。1-2矩陣之基本運算定義：矩陣相加減【例】及【解】定義：矩陣相乘矩陣及，，為一個階數等於之矩陣，且【例】，，若與，則定義：轉置矩陣MT中第i行第j列的元素即為原矩陣M中之第i列第j行的元素【例】，使得。1-3逆方陣定義：若，，使得時，則稱B為A的逆方陣或反方陣。此時，A稱為可逆方陣或非奇異方陣，通常以表示A的逆方陣。反之，若不存在B，則稱A為奇異方陣。【例】【解】1-4線性方程組的解法定義：1、若n>m，則n個未知數及m個線性方程式的齊次方程組有一組非必然解。2、若A為n階方陣，，則齊次方程組AX=0，有一組非必然解的充要條件是A為奇異方陣。3、若，則下列的敘述為同義。(1)A為可逆方陣。(2)AX=0僅有必然解。(3)A是列同義於。4、令AX=B為具有n個變數及n個一次方程式的方程組。若存在，則此方程組之解為唯一，且。【例】【解】第二章向量空間與線性變換2-1三維空間中向量之性質定義：單位向量就是長度為1的向量。單位向量的符號通常有個「帽子」，如：î。一個非零向量u的正規化向量û就是平行於u的單位向量：定義：空間中向量之性質若u，v及w為空間中的向量，而為實數，則下列性質成立(1)u+v=v+u(2)(u+v)+w=u+(v+w)(3)u+0=0+u=u，0為零向量(4)存在-u使得u+(-u)=(-u)+u=0(5)(6)(7)(8)1u=u2-2三維空間中向量的內積定義：兩向量A和B的內積寫成A×B，讀作"AdotB"，定義為A和B兩向量的大小與其夾角的餘弦函數的乘積，如下圖所示，其方程式之形式為A×B=ABcosq其中0°£q£180°。向量內積的結果為一純量，故也常稱之為向量的純量積。運算法則1.交換律：A×B=B×A2.與一純量相乘：a(A×B)=(aA)×B=A×(aB)=(A×B)a3.分配律：A×(B+D)=(A×B)+(A×D)【例】【解】2-3向量空間與子空間定義：向量空間給出域F，一個向量空間是個集合V加上兩個運算：向量加法：V×V→V記作v+w,∃v,w∈V，標量乘法：F×V→V記作av,∃a∈F及v∈V。都符合下列公理(∀a,b∈F及u,v,w∈V)：向量加法符合結合律：u+(v+w)=(u+v)+w.向量加法符合交換律:v+w=w+v.向量加法有單位元:V裡有一個叫做零向量的0，∀v∈V,v+0=v.向量加法有逆元素:∀v∈V,∃w∈V,導致v+w=0.標量乘法分配於向量加法上:a(v+w)=av+aw.標量乘法分配於域加法上:(a+b)v=av+bv.標量乘法一致於純量的域乘法:a(bv)=(ab)v。標量乘法有單位元:1v=v,這裡1指示域F的乘法單位元.注意第七個公理涉及兩種運算不稱其為符合結合律。有些文獻包括兩個閉包公理：V閉合在向量加法下：v+w∈V.V閉合在標量乘法下:av∈V.簡而言之，向量空間是一個F-模。V的成員叫作向量而F的成員叫作標量若F是實數域R，V稱為實數向量空間.若F是複數域C，V稱為複數向量空間.若F是有限域，V稱為有限域向量空間對一般域F，V稱為F-向量空間定義：子空間一個向量空間V的一個非空子集合W在加法及標量乘法中表現密閉性，被稱為V的線性子空間。給出一個向量集合B，載著它的最小子空間，稱為它的擴張，紀作span(B)。姶出一個向量集合B，若它的擴張就是向量空間V，稱B為V的生成集。一個向量空間V最大的線性獨立子集，稱為這個空間的基。若V=0，唯一的基是空集。對非零向量空間V，基是V最小的生成集。向量空間的所有基擁有相同基數，稱為該空間的維度。例如,實數向量空間：R0,R1,R2,R3,…,R∞,…中，Rn的維度就是n。空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的線性組合。把基中元素排列，向量便可以座標系統來呈現。2-4線性獨立與基底定義：線性獨立函數集合{u1(x),u2(x),…un(x)}在x屬於[a,b]中為線性相依，若且存在一組非全為零的實常數(純量)c1,c2,…cn使得c1u1(x)+c2u2(x)+…cnun(x)=0x屬於[a,b]若函數集合{u1(x),u2(x),…un(x)}