巧解双曲线得离心率离心率就是双曲线得重要性质,也就是高考得热点。经常考查:求离心率得值,求离心率得取值范围,或由离心率求参数得值等。下面就介绍一下常见题型与巧解方法。1、求离心率得值(1)利用离心率公式,先求出,再求出值。(2)利用双曲线离心率公式得变形:,先整体求出,再求出值。例1已知双曲线得一条渐近线方程为,则双曲线得离心率为__________、分析:双曲线得渐近线方程为,由已知可得解答:由已知可得,再由,可得、(3)构造关于得齐次式,再转化成关于得一元二次方程,最后求出值,即“齐次化”。例如:例2设双曲线得一个焦点为,虚轴得一个端点为,如果直线与该双曲线得一条渐近线垂直,那么此双曲线得离心率为____________、分析:利用两条直线垂直建立等式,然后求解。解答:因为两条直线垂直,所以(负舍)2、求离心率得取值范围求离心率得取值范围关键就是建立不等关系。(1)直接根据题意建立得不等关系求解得取值范围。例3若双曲线(),则双曲线离心率得取值范围就是_________、分析:注意到得条件解答:(2)利用平面几何性质建立不等关系求解得取值范围。例4双曲线得两个焦点为,若为其上非顶点得一点,且,则双曲线离心率得取值范围为__________、分析:由双曲线上非顶点得点与两个焦点构成三角形,利用三角形性质构建不等式。解答:因为,而,又因为三角形两边之与大于第三边,两边之差小于第三边,,所以。(3)利用圆锥曲线相关性质建立不等关系求解得取值范围。例5已知双曲线得左,右焦点分别为,点P在双曲线得右支上,且,则此双曲线离心率e得取值范围就是__________、分析:此题与上题类似,但也可以换一种办法找不等关系。解答:由可得,又因为点P在双曲线得右支上,,即,所以、(4)运用数形结合思想建立不等关系求解得取值范围。例6双曲线得右焦点为,若过点且倾斜角为得直线与双曲线得右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率得取值范围就是______分析:由直线与双曲线得位置关系得到不等关系解答:由图象可知渐近线斜率,再由。(5)运用函数思想求解得取值范围。例7设,则双曲线得离心率得取值范围就是________、分析:把离心率表示成关于得函数,然后求函数得值域解答:把或表示成关于得函数,,然后用求函数值域得方法求解,。小结:通过以上例题,同学们应该体会到求离心率得值或取值范围有很多种办法,求值不一定非要先求出得值,能够得到中某两者得关系即可;求取值范围关键就就是找到不等关系建立不等式,不等关系可以来自已知条件、可以来自图形特点、也可以来自双曲线本身得性质。总之,要认真审题、分析条件,巧解离心率。练习:(1)设直线l过双曲线C得一个焦点,且与C得一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|为C得实轴长得2倍,则C得离心率为().A、eq\r(2)B、eq\r(3)C.2D.3解:设双曲线C得方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1,焦点F(－c,0),将x＝－c代入eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1可得y2＝eq\f(b4,a2),所以|AB|＝2×eq\f(b2,a)＝2×2a,∴b2＝2a2,答案:B(2)已知双曲线C:eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0,b>0)得离心率为eq\f(\r(5),2),则C得渐近线方程为().A.y＝±eq\f(1,4)xB.y＝±eq\f(1,3)xC.y＝±eq\f(1,2)xD.y＝±x解:由题意可知,双曲线得渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x,又离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\f(\r(5),2),所以eq\f(b,a)＝eq\f(1,2),所以双曲线得渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x、答案:C(3)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0,b>0)得左、右焦点分别为F1,F2,渐近线分别为l1,l2,点P在第一象限内且在l1上,若l2⊥PF1,l2∥PF2,则双曲线得离心率就是().A、eq\r(5)B.2C、eq\r(3)D、eq\r(2)图1解:如图1,由l2⊥PF1,l2∥PF2,可得PF1⊥PF2,则|OP|＝eq\f(1,2)|F1F2|＝c,设点P得坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m,\f(b,a)m)),则eq\