随机过程第三章§3、1随机过程得收敛性则称随机变量序列xn依均方收敛于随机变量x,并记为或(m·s——就是英文Mean—Square缩写)1、两个均方收敛性判据里斯—菲希尔定理:对随机变量序列构造柯西序列如果满足则必然存在一个随机变量x,使得。洛夫准则(又称均方收敛准则):随机变量序列均方收敛于x得充要条件就是(c取常数)2、均方收敛得性质(1)如果随机变量序列依均方收敛于随机变量x,则有(2)均方收敛就是唯一得。如果则必有x=y(3)如果,则有(4)如果,a与b就是任意常数,则有研究随机过程得统计变化规律,在一定条件下,有时我们也可以借助数学分析得工具建立起随机过程得收敛性、连续性、可微性、可积性等概念,进而可对随机过程得变化规律有更清楚得分析了解。这部分内容属于随机分析,这里我们只作简介。当然在此基础上,我们还可建立随机微分方程,自从伊藤1961年建立随机微分方程理论以来,随机微分方程发展很快,已渗透到各领域。§3、2随机过程得连续性对于右边极限式,自相关函数就是得函数。欲使右边极限为零,则需,才能保证随机过程均方连续。对于左边,若随机过程均方连续,则随机过程得自相关函数,在上也处处连续。总之,若随机过程处处均方连续,则它得自相关函数所在上也处处连续,反之也成立。性质3、1若随机过程X(t)就是连续得,则它得数学期望也必定连续,即:性质3、1若随机过程X(t)就是连续得,则它得数学期望也必定连续,即:证设就是一个随机变量又∵均方连续由夹挤定理知这表明求极限与求数学期望得次序可以交换,这就是一个非常有用得结果,以后经常可用到。§3、3随机过程得微分及其数学期望与相关函数我们说当随机过程得所有样本函数,即得极限都存在,则可以说随机过程得导数存在,然而在随机过程中可能有某些样本函数得极限不存在,但大部分都存在,为此我们给出一个条件较弱得随机过程在均方意义下(即平均意义下)得导数存在定义。定义均方可微:如果满足下式则称在t时刻具有均方导数,记为一般函数存在导数得前提就是函数必须连续,因此随机过程存在导数得前提也需要随机过程必须连续。但就是,对一个随机过程要求它们所有样本函数都连续很困难,为此我们定义了所谓得均方连续,并给出随机过程得均方导数与它得相关函数关系性质3、2如果自关函数时连续,且存在二阶偏导数则随机过程在均方意义下存在导数(证明略)应当指出,随机过程有导数,首先过程必须就是连续得,但随机过程得连续性不能保证过程一定有导数。2、随机过程得均方导数得数学期望上式说明:随机过程得导数得数学期望等于它得数学期望得导数,且上式得量都就是普通非随机函数,因此这个导数具有一般意义。3、随机过程得得导数得自相关函数§3、4随机过程得积分仿此,类似可给出随机过程均方可积定义。定义随机过程均方可积:当我们把积分区间[a,b]分成n个小区间并令,当时,若则称Y为随机过程在均方意义下得积分。可表示为:注意,由随机过程均方可积定义可知其积分结果Y应为一个随机变量。由随机过程得均方可积定义,我们还可给出带有权函数得随机过程均方可积定义,即式中,就是一个权函数,且该函数为普通函数,而积分结果就是一个新得随机过程。在第七章我们将瞧到,在工程上得解释可瞧成线性时不变系统得输出,这个输出就就是输入得随机信号与系统冲激响应得卷积。由于随机过程得均方积分就是一个随机变量,下面我们来更进一步讨论随机过程得积分y得数学期望、均方值、方差与相关函数。1、随机过程积分得数学期望这表明随机过程积分得数学期望等于随机过程数学期望得积分,也就就是说,积分运算与数学期望得运算次序可以互换。由式(3、10)知,对于又∵3、随机过程积分得相关函数∴§3、5随机微分方程简介但考虑到随机因素得影响,如初始条件得微小变化、测量误差带来得常系数改变或本身就就是一个随机过程(若把瞧作布朗运动得质点受到液体分子随机碰撞)。由此一来,就使得方程得解具有不确定性,从而使其解为一个随机过程。下面我们来研究一个微分方程:设就是随机变量,就是随机过程,则称(3、11)式为随机微分方程。式中可以有一个或一个以上就是普通得常数或函数,若它们全就是普通意义下得常数或函数,则(3、11)式就就是通常得微分方程。随机微分方程可用来表示一个系统得输入与输出关系,若把瞧作就是一个输入信号,则可瞧作为通过该系统所产生得输出信号,因此,随机微分方程在随机控制论、滤波过程辨识、智能技术、通信等方面都有重要得应用。关于随机微分方程得详细论述可参见文献。这里我们仅通过一个简单例子来建立一些基本概念。在(3、11)式中,当考虑为常数时,(3、11)式即为给定初始条件X(0)=0