第四节数_列_求_和[知识能否忆起]一、公式法1．如果一个数列是等差数列或等比数列，那么求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式，注意等比数列公比q的取值情况要分q＝1或q≠1.2．一些常见数列的前n项和公式：(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)；(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2；(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n.二、非等差、等比数列求和的常用方法1．倒序相加法如果一个数列{an}，首末两端等“距离〞的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，等差数列的前n项和即是用此法推导的．2．分组转化求和法假设一个数列的通项公式是由假设干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，那么求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减．3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，等比数列的前n项和就是用此法推导的．4．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．[小题能否全取]1．(2022·沈阳六校联考)设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，那么对任意正整数n，Sn＝()A.eq\f(n[－1n－1],2)B.eq\f(－1n－1＋1,2)C.eq\f(－1n＋1,2)D.eq\f(－1n－1,2)解析：选D因为数列{(－1)n}是首项与公比均为－1的等比数列，所以Sn＝eq\f(－1－－1n×－1,1－－1)＝eq\f(－1n－1,2).2．等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，其前n项的和为Sn，那么数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的前10项的和为()A．120B．70C．75D．100解析：选C∵Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝n(n＋2)，∴eq\f(Sn,n)＝n＋2.故eq\f(S1,1)＋eq\f(S2,2)＋…＋eq\f(S10,10)＝75.3．数列a1＋2，…，ak＋2k，…，a10＋20共有十项，且其和为240，那么a1＋…＋ak＋…＋a10的值为()A．31B．120C．130D．185解析：选Ca1＋…＋ak＋…＋a10＝240－(2＋…＋2k＋…＋20)＝240－eq\f(2＋20×10,2)＝240－110＝130.4．假设数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，那么数列{an}的前n项和为________．解析：Sn＝eq\f(21－2n,1－2)＋eq\f(n1＋2n－1,2)＝2n＋1－2＋n2.答案：2n＋1＋n2－25．数列eq\f(1,2×4)，eq\f(1,4×6)，eq\f(1,6×8)，…，eq\f(1,2n2n＋2)，…的前n项和为________．解析：因an＝eq\f(1,2n2n＋2)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))那么Sn＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n＋1)))＝eq\f(n,4n＋1).答案：eq\f(n,4n＋1)数列求和的方法(1)一般的数列求和，应从通项入手，假设无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择适宜的方法求和．(2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．②不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．分组转化法求和典题导入[例1](2022·山东高考)等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列{an}的通项公式；(2)假设数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nlnan，求数列{bn}的前2n项和S2n.[自主解答](1)当a1＝3时，不合题意