圆_的_方_程[知识能否忆起]1．圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圆心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径：eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)2．点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)假设M(x0，y0)在圆外，那么(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.(2)假设M(x0，y0)在圆上，那么(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)假设M(x0，y0)在圆内，那么(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.[小题能否全取]1．(教材习题改编)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是()A.eq\f(1,4)＜m＜1B．m＜eq\f(1,4)或m＞1C．m＜eq\f(1,4)D．m＞1解析：选B由(4m)2＋4－4×5m＞0得m＜eq\f(1,4)或m＞1.2．(教材习题改编)点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，那么实数a的取值范围是()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(1，＋∞)解析：选A∵点(1,1)在圆的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴－1＜a＜1.3．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1解析：选A设圆心坐标为(0，b)，那么由题意知eq\r(0－12＋b－22)＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.4．(2022·潍坊调研)圆x2－2x＋y2－3＝0的圆心到直线x＋eq\r(3)y－3＝0的距离为________．解析：圆心(1,0)，d＝eq\f(|1－3|,\r(1＋3))＝1.答案：15．(教材习题改编)圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为____________________．解析：设圆的方程为x2＋y2＝a2(a＞0)∴eq\f(|2|,\r(1＋1))＝a，∴a＝eq\r(2)，∴x2＋y2＝2.答案：x2＋y2＝21.方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是：(1)B＝0；(2)A＝C≠0；(3)D2＋E2－4AF＞0.2．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．圆的方程的求法典题导入[例1](1)(2022·顺义模拟)圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长之比为1∶2，那么圆C的方程为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x±\f(\r(3),3)))2＋y2＝eq\f(4,3)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x±\f(\r(3),3)))2＋y2＝eq\f(1,3)C．x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y±\f(\r(3),3)))2＝eq\f(4,3)D．x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y±\f(\r(3),3)))2＝eq\f(1,3)(2)圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，那么圆C的方程为________________．[自主解答](1)由知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为eq\f(2π,3)，设圆心(0，b)，半径为r，那么rsineq\f(π,3)＝1，rcoseq\f(π,3)＝|b|，解得r＝eq\f(2,\r(3))，|b|＝eq\f(\r(3),3)，即b＝±eq\f(\r(3),3).故圆的方程为x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y±\f(\r(3),3)))2＝eq\f(4,3).(2)圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋F＝0，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(26＋5D＋F＝0，,10＋D＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－4，,F＝－6.))圆C的方程为x2＋y2－