数列求和走进高考第一关基础关教材回归另外,还有一些常见常用的求和公式:(1)1+2+3+…+n=____________,(2)1+3+5+…+(2n-1)=____________,(3)12+22+32+…+n2=_____________.2.倒序相加法4.拆项分组法5.裂项相消法6.并项转化法考点陪练10111213答案:B1516171819解读高考第二关热点关类型一:公式法求和2.数列的通项是关于n的多项式时,要掌握几个常见数列的前n项和:典例1若数列{an}中,an=-2,求S10和S99.解法1:该数列的奇数项是-4,-8,-12,-16,-20;偶数项是-2,-6,-10,-14,-18.∴S10=S奇+S偶=-60-50=-110.同理,S99=-9902.解法2:∵a2m-1=-2(2m-1+1)=-4m,a2m=-2(2m-1)=-4m+2.在求数列的前2m项和时,因奇数项､偶数项分别为m项,∴S奇=-2m(m+1);S偶=-2m(m+1)+2m=-2m2.∴S2m=-2m(m+1)-2m2=-2m(2m+1).令m=5,得S10=-110;令m=50,得S100=-10100,又a100=-198,∴S99=S100-a100=-9902.26【评析】若构成数列的项中含有(-1)n,则在求和Sn时,一般要考虑n是奇数还是偶数.28类型二:分组转化法求和3031【评析】有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列.若将这类数列适当拆开,可分为几个等差､等比或常见的数列,即能分别求和,然后再合并.类型三:裂项相消法求和3435363738类型四:错位相减法求和2.错位相减法是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,也是数列求和中经常用到的一种方法.典例4已知数列{an}是等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=anxn(x∈R).求数列{bn}前n项和的公式.(1)设数列{an}公差为d,则a1+a2+a3=3a1+3d=12,∵a1=2,∴d=2,∴an=2n.4344笑对高考第三关成熟关名师纠错【剖析】解本题易出现的第一个错误就是求错数列的通项公式;第二个错误是在用“错位相减”求和时对相减后的项处理不当,导致漏掉项或添加项,这是这类求和问题最容易出现错误的地方.4849【评析】错位相减求和法错位相减求和法的适用环境:数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积所组成的,求其前n项和,基本方法是设这个和式为Sn,在这个和式两端同时乘以等比数列的公比得到另一个和式,这两个和式错一位相减,就把问题转化为以求一个等比数列的前n项和或前n-1项和为主的求和问题.这里最容易出现问题的就是错位相减后对剩余项的处理,如本例中相减后的和式要分三个部分:5152535455解题策略典例1两个等差数列{an}:5,8,11,…和{bn}:3,7,11,…都有100项,问它们有多少个共同的项.58解法二:设两数列共同项组成新数列{Cn},则C1=11,又an=3n+2,bm=4m-1,由题意知{Cn}为等差数列,且公差d=12,∴Cn=11+(n-1)×12=12n-1.又∵a100=302,b100=399,∴Cn=12n-1≤302,由n∈N*得n≤25,∴两数列有25个共同的项.2.数列{|an|}的前n项和问题其关键是化去绝对值符号,首先划分哪些项是负的,哪些项是非负的,再求和.616263快速解题【解题切入点】共有2n-1个不同的数,其中1和2n-1各一个,2和2n-2各2个,3和2n-3各3个…求其和.6667【方法与技巧】详解从不同数的个数考虑,而快解从每行的和考虑.每行的和成等差数列,直接代入等差数列前n项的公式即得.教师备选典例1已知{an}是一个等差数列,且a2=1,a5=-5.(1)求{an}的通项an;(2)求{an}的前n项和Sn的最大值.【分析】(1)用首项a1与公差d表示a2,a5建立关于a1与d的方程组求出a1与d的值,然后求数列的通项公式.(2)得出数列{an}的前n项和的表达式,整理变形,利用二次函数的知识求解.典例2已知f(x)=logax(a>0且a≠1).设f(a1),f(a2),…,f(an)(n∈N*)是首项为4,公差为2的等差数列.(1)设a为常数,求证:{an}是等比数列;(2)若bn=anf(an),{bn}的前n项和是Sn,当a=时,求Sn.7374二､分类讨论思想在数列中的应用典例3数列{an}是首项为a,公比为t的等比数列,bn=1+a1+a2+…+an(n∈N*),cn=2+b1+b2+…+bn(n∈N*).(1)求bn,cn;(2)是否存在实数对(a,t),使{cn}为等比数列?证明你的结论.【分析】(1)中公比