2024年湖南省衡阳市数学高一上学期自测试题及解答参考一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、若函数fx=x3−3x2+4在x=a处有极值，则a的值是：A.a=−1B.a=1C.a=2D.a=3答案：B解析：要找函数fx=x3−3x2+4的极值点，首先需要计算其一阶导数f′x。对fx求导得：f′x=3x2−6x令f′x=0求解x：解得x=0或x=2。为了确定这些点是否是极值点，需要计算二阶导数f″x：f″x=6x−6将x=0和x=2分别代入f″x：f″0=−6<0（表示x=0处有极大值）f″2=6>0（表示x=2处有极小值）因此，x=2是函数的极小值点，所以正确答案是B.a=2。2、下列各数中，有理数是：A、√2B、πC、0.1010010001…（无限循环小数）D、2/3答案：D解析：有理数是可以表示为两个整数之比的数，即形式为a/b，其中a和b是整数，且b不等于0。选项A和B分别是根号2和圆周率π，它们是无理数，不能表示为两个整数之比。选项C是无限循环小数，虽然它是一个有规律的无限小数，但由于它不能精确表示为两个整数之比，因此也不是有理数。选项D2/3是一个分数，可以表示为两个整数之比，因此是有理数。3、在等差数列{an}中，首项a1=1，公差d=2，则第10项a10的值为（）A.19B.21C.23D.25答案：B.21解析：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d。代入已知的首项a1=1，公差d=2，以及项数n=10，得：a10=1+(10-1)*2=1+9*2=1+18=21因此，第10项a10的值为21。4、在下列各数中，属于有理数的是（）A、√2B、πC、0.1010010001……D、3/2答案：D解析：有理数是可以表示为两个整数之比的数，即形如a/b（a和b为整数，且b不为0）的数。在选项中，A选项的√2是无理数，B选项的π也是无理数，C选项的数是一个无限不循环小数，同样是无理数。而D选项的3/2可以表示为两个整数3和2的比值，因此是有理数。故正确答案为D。5、在函数fx=2x3−3x2+4x−1中，令fx的导数f′x的零点为a，则fx的极值点为（）A.x=aB.x=2aC.x=3aD.x=a2答案：C解析：首先，我们求出fx的导数f′x：f′x=6x2−6x+4令f′x=0，解得：6x2−6x+4=0x2−x+23=0x−122=0x=12所以，f′x的零点为a=12。接下来，我们求fx的极值点。由于f′x是一个二次函数，其开口向上，因此fx在x=12处取得极小值。根据导数的几何意义，fx的极小值点也是f′x的零点。由于f′x的零点为a=12，则fx的极小值点也是12。所以，fx的极值点为x=3a=3×12=32。因此，正确答案为C。6、已知函数fx=2x3−3x2+4，若fx的图像关于原点对称，则下列哪个选项是正确的？A.a=0B.a=1C.a=2D.a=3答案：C解析：由于fx的图像关于原点对称，即f−x=−fx，所以有：f−x=2−x3−3−x2+4=−2x3−3x2+4$$-f(x)=-2x3+3x2-4$$将f−x=−fx代入上式得：$$-2x3-3x2+4=-2x3+3x2-4$$整理得：6x2=8x2=43由于x2为正数，所以x=±233，即a=2。因此选C。7、在函数y=（x-1）^2+3中，若函数的图像向右平移2个单位，则新的函数关系式为（）A.y=（x-3）^2+3B.y=（x+1）^2+3C.y=（x-1）^2+3D.y=（x+3）^2+3答案：A解析：函数y=（x-1）2+3的图像向右平移2个单位，意味着x的值增加2。所以，新的函数关系式为y=（x-1-2）2+3，即y=（x-3）^2+3。因此，正确答案是A。8、若函数fx=4−x2的定义域为D，则D的取值范围是：A.−2,2B.−3,3C.0,2D.2,4答案：A解析：函数fx=4−x2的定义域是指使得函数有意义的所有x的取值范围。由于根号下的表达式必须非负，即4−x2≥0，解得−2≤x≤2。因此，函数的定义域为−2,2，所以选项A正确。二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）1、已知函数fx=ax2+bx+c（其中a≠0），且满足以下条件：（1）f1=2；（2）f′2=3；（3）fx在x=3处取得最小值。则下列说法正确的是：A.a>0B.b=−1C.c=0D.f4=8答案：A、B、D解析：（1）由f1=2可得a+b+c=2；（2）由f′x=2ax+b可得f′2=4a+b=3；（3）由fx在x=3处取得最小值，可得