金太阳新课标资源网HYPERLINK"http://www.jtyjy.com"wx.jtyjy.com第页共NUMPAGES13页金太阳新课标资源网HYPERLINK"http://www.jtyjy.com"wx.jtyjy.com北京市西城区2013届高三第二次模拟考试数学（文科）2013.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．复数（A）（B）（C）（D）2．已知向量，．若与共线，则实数（A）（B）（C）（D）3．给定函数：①；②；③；④，其中奇函数是（A）①（B）②（C）③（D）④4．若双曲线的离心率是，则实数（A）（B）（C）（D）5．如图所示的程序框图表示求算式“”之值，则判断框内可以填入（A）（B）（C）（D）6．对于直线，和平面，，使成立的一个充分条件是（A），∥（B）∥，（C），，（D），，7．已知函数．若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）8．已知集合的非空子集具有性质：当时，必有．则具有性质的集合的个数是（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知直线，．若∥，则实数______．10．右图是甲，乙两组各名同学身高（单位：）数据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为和，则______．（填入：“”，“”，或“”）11．在△中，，，，则______；△的面积是______．12．设，随机取自集合，则直线与圆有公共点的概率是______．13．已知命题函数在上单调递增；命题不等式的解集是．若且为真命题，则实数的取值范围是______．14．在直角坐标系中，已知两定点，．动点满足则点构成的区域的面积是______；点构成的区域的面积是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知等比数列的各项均为正数，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设．证明：为等差数列，并求的前项和．16．（本小题满分13分）如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且．将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点．记．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）分别过作轴的垂线，垂足依次为．记△的面积为，△的面积为．若，求角的值．17．（本小题满分14分）如图1，在四棱锥中，底面，面为正方形，为侧棱上一点，为上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．（Ⅰ）求四面体的体积；（Ⅱ）证明：∥平面；（Ⅲ）证明：平面平面．18．（本小题满分13分）已知函数，其中．（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求在区间上的最小值．19．（本小题满分14分）如图，椭圆的左顶点为，是椭圆上异于点的任意一点，点与点关于点对称．（Ⅰ）若点的坐标为，求的值；（Ⅱ）若椭圆上存在点，使得，求的取值范围．20．（本小题满分13分）已知集合是正整数的一个排列，函数对于，定义：，，称为的满意指数．排列为排列的生成列．（Ⅰ）当时，写出排列的生成列；（Ⅱ）证明：若和为中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（Ⅲ）对于中的排列，进行如下操作：将排列从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加．北京市西城区2013年高三二模试卷高三数学（文科）参考答案及评分标准2013.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A；2．A；3．D；4．B；5．C；6．C；7．B；8．B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．；10．；11．，；12．；13．；14．，．注：11、14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等比数列的公比为，依题意．………………1分因为，，两式相除得，………………3分解得，舍去．………………4分所以．………………6分所以数列的通项公式为．………………7分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得．………………9分因为，所以数列是首项为，公差为的等差数列．………………11分所以．………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由三角函数定义，得，．………………2分因为，，所