2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、选择题（本题8小题，每小题4分，共32分）.1.已知当x0时，函数f()xx3sinsin3x与cxk是等价无穷小，则（）.(A)kc1,4(B)kc1,4(C)kc3,4(D)kc3,4xfx23()2fx()2.已知f()x在x0处可导，且f(0)0，则lim（）.x0x3(A)f)0(2(B)f)0((C)f)0((D)03.函数xxxxf)3)(2)(1(ln)(的驻点个数为（）.(A)0(B)1(C)2(D)34.微分方程yy2eexx（0）的特解形式为（）.(A)a(exex)(B)ax(exex)(C)xa(exbex)(D)xa2(exbex)5.设函数f(),()xgx均有二阶连续导数，满足fg(0)0,(0)0，且fg(0)(0)0，则函数zfxgy()()在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件是（）.(A)fg(0)0,(0)0(B)fg(0)0,(0)0(C)fg(0)0,(0)0(D)fg(0)0,(0)06.设I4lnsinxxd，Jx4lncotdx，Kx4lncosdx，则I,,JK的大小关系000为（）.(A)IJK(B)IKJ(C)JIK(D)KJI7.设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与100100第3行得单位矩阵.记P110，P001，则A（）.1200101011(A)PP12(B)PP12(C)PP21(D)PP21*T8.设A(,1234,,)是4阶矩阵，A为A的伴随矩阵，若(1,0,1,0)是方程组Ax0的一个基础解系，则A*x0的基础解系可为（）.(A)13,(B)12,(C)123,,(D)234,,二、填空题（本题6小题，每小题4分，共24分）.112xx9.lim.x0210.微分方程yyxecosx满足条件y(0)0的解为y.x11.曲线ytanttd（0x）的弧长s.04xe,x0;12.设函数fx()（0），则xfx()dx.0,x013.设平面区域D由直线yx，圆x2y22y及y轴所围成，则二重积分xyd.D22214.二次型f(,x12x,x3)x13x2x32xx122xx132xx23，则f的正惯性指数为.三、解答题（本题共9小题，满分94分）．15.（本题满分10分）.xln(1tt2)d已知函数0，设，试求的取值范Fx()limF(x)limF(x)0xxx0围.16.（本题满分11分）.11xtt3,33设函数yyx()由参数方程确定，求yyx()的极值和曲线11ytt333yyx()的凹凸区间及拐点.17.（本题满分9分）.设函数zfxyygx,()，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数gx()可导且2z在x1处取得极值g(1)1，求.xyx1y118.（本题满分10分）.设函数y()x具有二阶导数，且曲线l：yyx()与直线yx相切于原点.记ddy是曲线l在点(,xy)处切线的倾角，若，求y()x的表达式.ddxx19.（本题满分10分）.111（Ⅰ）证明：对任意的正整数n，都有ln1成立；nn1n11（Ⅱ）设a1ln（n1,2,n），证明数列{a}收敛.n2nn20.（本题满分11分）.一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋y转一周而成的曲面，该曲线由x22yy22x22yy211（y）与xy221（y）连接而成.221（Ⅰ）求容器的容积；1（Ⅱ）若将容器内盛满的水从容器顶2x部全部抽出，至少需要做多少功？（长度1O1单位：m；重力加速度为gm/s2；水的密度xy2211为1033kg/m）.21.（本题满分11分）.已知函数f(,xy)具有二阶连续偏导数，且fy(1,)0，，fx(,1)0f(,xy)ddx