2009考研数学试题详解与评析水木艾迪考研辅导班教务电话:62701055\82378805教学与命题研究中心清华大学数学系教授刘坤林俞正光谭泽光葛余博叶俊章纪民2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一,选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(1)函数f(x)=xx3的可去间断点的个数,则(sinπx)(A)1(B)2(C)3(D)无穷多个【解析与点评】考点:简单极限运算与间断点的分类.水木艾迪辅导的星级考点.参见水木艾迪考研数学36计例1-1,1-2,1-3等题目.【答案】Cf(x)=xx3则当x取整数时,f(x)无定义.sinπxf(x)的间断点有无穷多个,应是xx3=0的解x1,2,3=0,+1,可去间断点为3个,即0,+1.limx→oxx313x21xx313x22=lim=,lim=lim=,x→1sinπxx→1πcosπxsinπxx→0πcosπxππxx313x22lim=lim=.x→1sinπxx→1πcosπxπ(2)当x→0时,f(x)=xsinax与g(x)=xln(1bx)是等价无穷小,则(2)(A)a=1,b=16(B)a=1,b=16(C)a=1,b=11(D)a=1,b=66【解析与点评】考点:无穷小量比阶的概念与极限运算法则,此为水木艾迪强调的星级考点.参见木艾迪考研数学春季基础班教材《考研数学通用辅导讲义》例4.67,强化班教材《大学数学强化299》16,17等例题.【答案】Alimx→0xsinaxxsinax1acosax=lim2=limxln(1bx)x→0x(bx)x→03bx22=lima2sinaxa2sinaxa3=lim==1x→06bxx→06b6baxaa3=6b意味选项B,C错误.再由lim=x→01acosax存在,应有3bx21acosax→0(x→0),故a=1,D错误,所以选A.((3)函数z=f(x,y)的全微分为dz=xdx+ydy,则点(0,0)(A)不是f(x,y)的连续点(B)不是f(x,y)的极值点)水木艾迪www.etsinghua.org1地址:清华同方科技广场B座609室2009考研数学试题详解与评析水木艾迪考研辅导班教务电话:62701055\82378805教学与命题研究中心清华大学数学系教授刘坤林俞正光谭泽光葛余博叶俊章纪民(C)是f(x,y)的极大值点(D)是f(x,y)的极小值点【解析与点评】(方法1)dz=xdx+ydy=1d(x2+y2),2z=12(x+y2),有最小值0,立即有结果D.这是水木艾迪一再强调的凑微分方法.2(方法2)由dz=xdx+ydy可得zz=x,=yxyA=2z2z2z2z=1,B===0,C=2=1xyyxx2yzz=0,=0,ACB2=1>0,故(0,0)为函数z=f(x,y)的一xy在(0,0)处,个极小值点.【答案】D(4)设函数f(x,y)连续,则∫1dx∫xf(x,y)dy+∫1dy∫y2224yf(x,y)dx=()(A)∫1dx∫124xf(x,y)dyf(x,y)dy2(B)∫1dx∫4xf(x,y)dyx(C)∫1dy∫124y(D)∫1dy∫yf(x,y)dx2222【解析】∫1dx∫2f(x,y)dy+∫1dy∫2f(x,y)dx的积分区域为两部分:xxD1={(x,y)1≤x≤2,x≤y≤2},D2={(x,y)1≤y≤2,y≤x≤4y},D={(x,y)1≤y≤2,1≤x≤4y},将二次积分交换积分秩序得到24∫1dy∫1yf(x,y)dx,【答案】C.(5)若f′′(x)不变号,且曲线y=f(x)在点(1,1)上的曲率圆为x+y=2,则f(x)在区22间(1,2)内()(A)有极值点,无零点(B)无极值点,有零点(C)有极值点,有零点(D)无极值点,无零点【解析与点评】在点(1,1)处的领域内f(x)凸性不变(上凸),即f′′(x)<0,由曲率圆概念得到f(1)=1,y′(1)=f′(1)=1与y′′(1)=f′′(1)=2.在[1,2]上,f′(x)≤f′(1)=1<0,即f(x)单调减少,没有极值点.f(2)f(1)=f′(ξ)<1,ξ∈(1,2),f(2)<0,f(1)=1>0由零点定理,f(x)在[1,2]上有零点.应选(B)【答案】B.水木艾迪www.etsinghua.org2