第六章6.2讲第二节微积分基本公式一、积分上限函数及其导数1．积分上限函数设函数在闭区间[]上连续,并设为[]上的一点,则在[]上可积,为一确定的值.因为定积分与积分变量的记法无关,所以为了明确起见,上面的定积分写成.容易发现:如果上限在区间[]上任意变动,对于每一个取定的值,定积分都有一个对应的值,所以在区间[]上是的一个函数,记作.即=(3)函数是积分上限的函数,因此简称为积分上限函数2．积分上限函数的导数定理1如果函数在区间[]上连续,则积分上限函数=在区间[]上可导,并且它的导数是=(4)证明:当上限取得增量时,函数的增量为==+=应用积分中值定理,有(在与之间)于是由于时,,且区间[]上连续所以.说明：（1）连续函数取变上限的定积分,然后求导；其结果还原为本身,说明积分运算和微分运算是互为逆运算.即=（2）连续函数的变上限定积分是的一个原函数.因此在区间[]上任一连续函数的原函数一定存在.例1求(1)；（2）.解:（1）（2）二、牛顿——莱布尼兹公式定理2如果函数是连续函数在区间[]上的任一原函数,则=.(5)证明因为在区间[]上连续,由定理1可知,也是的一个原函数.已知是的一个原函数.于是这两个函数之间至多相差一个函数,即=+(为常数)由于=0,从而=再令,则得即=为方便起见,常用符号表示,这时公式(5)可以写成==公式(5)称为牛顿－莱布尼兹公式,也称为微积分基本公式。计算解因为,所以计算解因为所以是的一个原函数.因此有计算解注意:如果函数不满足可积条件,这时牛顿---莱布尼兹公式是不能使用的.例如上面做法是错误的,因为在区间上为函数的无穷间断点,故在该区间上不能使用牛顿---莱布尼兹公式.