西华师范大学数学分析（2）期末试题课程名称数学分析（Ⅱ）适用时间试卷类别1适用专业、年级、班应用、信息专业一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）1、下列级数中条件收敛的是（）．∞∞(−1)n∞(−1)n∞1nA．(−1)nB．C．D．(1+)∑∑∑2∑n=1n=1nn=1nn=1n2、若f是(,)−∞+∞内以2π为周期的按段光滑的函数,则f的傅里叶（Fourier）级数在它的间断点x处（）．1A．收敛于fx()B．收敛于((fx−+0)fx(+0))2C．发散D．可能收敛也可能发散3、函数f(x)在[a,b]上可积的必要条件是（）．A．有界B．连续C．单调D．存在原函数4、设fx()的一个原函数为lnx，则fx′()=（）11A．B．xxlnC．−D．exxx2+∞dx5、已知反常积分(k>0)收敛于1，则k=（）∫01+kx2ππ2ππ2A．B．C．D．22246、lnxxx−(ln)23+(ln)−+−⋯(1)n−1(ln)xn+⋯收敛，则（）A．xe<B．xe>C．x为任意实数D．exe−1<<二、填空题（每小题3分，3×6＝18分）∞1、已知幂级数n在处条件收敛，则它的收敛半径为．∑axnx=2n=1∞2n2、若数项级数的第个部分和，则其通项u=，和．∑unnSn=nS=n=1n+113、曲线y=与直线x=1，x=2及x轴所围成的曲边梯形面积为．x1b4、已知由定积分的换元积分法可得，efedxx()()x=fxdx，则a=，b=．∫0∫a⎧nn⎫5、数集⎨(1)−n=1,2,3,⋯⎬的聚点为．⎩n+1⎭26、函数fxe()=x的麦克劳林（Maclaurin）展开式为．65三、计算题（每小题6分，6×5＝30分）dx1、．2、x2lnxdx．∫xx(1+)∫x2acostdt22∫3、a−xdxa(>0)．4、lim0．∫0x→0sinxπ5、21sin2−xdx．∫0四、解答题（第1小题6分，第2、3小题各8分，共22分）∞sinnx1、讨论函数项级数在区间(,)−∞+∞上的一致收敛性．∑2n=1n∞xn2、求幂级数∑的收敛域以及收敛区间内的和函数．n=1n3、设fxx()=,将f在(,)−ππ上展为傅里叶（Fourier）级数．五、证明题（每小题6分，6×2＝12分）∞∞1、已知级数与都收敛，且∑an∑cnn=1n=1abcnnnn≤≤,=1,2,3，⋯∞证明：级数也收敛．∑bnn=1ππ2、证明：2sinnxdx=2cosnxdx．∫0∫066试题参考答案与评分标准课程名称数学分析(Ⅱ)适用时间试卷类别1适用专业、年级、班应用、信息专业一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）⒈B⒉B⒊A⒋C⒌D⒍D二、填空题（每小题3分，3×6＝18分）2⒈2⒉u=,S=2⒊ln2nnn(+1)∞1⒋a==1,be⒌±1⒍∑xx2n,∈(−∞,+∞)n=0n!三、计算题（每小题6分，6×5＝30分）1.解111∵=−xxx(1)+1+x1∴dx（3分）∫xx(1+)11=−()dx∫xx1+=lnx−++ln1xC.（3分）2.解由分部积分公式得1x2lnxdx=lnxdx3∫3∫11=xx3ln−xdx3ln（3分）33∫111=xx3ln−⋅xdx333∫x11=x3lnx−xdx233∫11=xxxC3ln−+3（3分）39π3.解令xatt=sin,∈[0,]2由定积分的换元积分公式，得aa2−xdx2∫0π=a22cos2tdt（3分）∫067a2π=2(1+cos2)tdt2∫0π2a12=+(tsin2)t220πa2=.（3分）44.解由洛必达(L＇Hospital)法则得xcos2tdtlim∫0x→0sinxcos2x=lim（4分）x→0cosx=limcosxx→0=1（2分）5.解π21−sin2xdx∫0π=2(sinx−cos)xdx2（2分）∫0π=2sinx−cosxdx∫0ππ42=(cosx−+sin)xdxπ(sinx−cos)xdx（2分）∫0∫4ππ24=+(sinxxcos)−+(sinxxcos)π04=−222.（2分）四、解答题（第1小题6分，第2、3小题各8分，共22分）1.解∀∈−∞x(,+∞∀),n（正整数）sinnx1≤（3分）n2n2