K$&K中学数学月刊3&&L年第H期用函数最值法处理!恒成立"不等式中的参数范围徐国平#浙江省安吉高级中学$%$$&&’在高三数学复习过程中(经常会遇到以性质E若不等式<#/’:9#+’对+0下题型)>恒成立(且对于+0>时459#+’的最小若不等式对#%’*+,%*-*+-$*./值为?(那么<#/’:?8于恒成立求字母的取值范围+01(/2性质F若不等式<#/’;9#+’对+0设实数满足33#3’+(4+-#4,%’5%(>恒成立(且对于+0>时459#+’的值域当时实数的取值范围是+-4-67&(6为#?(@’(其中@任意但?是一个确定的常8数(那么<#/’;?8一般地对于以下四种类型的不等式()性质G若不等式<#/’;9#+’对+09#/(+’.&或9#/(+’7&(9#/(+’:&>恒成立(且对于+0>时459#+’的最小或9#/(+’;&(如果在确定其中一个字母范值为?(那么<#/’;?8围的条件下(求另一字母的取值范围问题(那特例)若等式<#/’59#+’对+0>恒么通常可以借助函数最值法加以处理8具体成立(且对于+0>时459#+’的值域为过程体现如下)#?(@’(那么?:<#/’:@8先将上述不等式转化成以下模型)<#/’注#%’若遇到值域为闭区间或区间有.9#+’或<#/’79#+’(<#/’:9#+’或开有闭的情况(参照模型类似地考虑2<#/’;9#+’(然后根据求函数最值或值域#3’上述性质可以简单记忆为!大大大的办法(转化为解不等式问题8于大(小小小于小(有等号取等号(无等号看具体来讲(可以得到下述八条基本性质)最值是否取到"2性质=若不等式<#/’.9#+’对+0#$’若遇到不等式中含三个或三个以上>恒成立(且对于+0>时459#+’的值域字母的情况参照模型实施降元类似地考虑为#?(@’(其中?任意但@是一个确定的常(2上述性质的证明过程省略数(那么<#/’7@8#H’8针对上述性质下面就一些具体的问题性质A若不等式<#/’.9#+’对+0(加以举例说明与运用>恒成立(且对于+0>时459#+’的最大8以不等式为依托求字母取值范围值为@(那么<#/’.@8=(例不等式3性质B若不等式<#/’79#+’对+0=+,#/-3’+-/-I.在时恒成立求实数的取>恒成立(且对于+0>时459#+’的值域&+0#%(-J’(/值范围为#?(@’(其中?任意但@是一个确定的常8数(那么<#/’7@8解将上述不等式化简为)#+,%’/性质C若不等式<#/’79#+’对+0:+3,3+-I(由于+.%(故不等式/:>恒成立(且对于+0>时459#+’的最大+3,3+-I在+0#%(-J’时恒成立8令值为@(那么<#/’7@8+,%性质若不等式对+3,3+-ID<#/’:9#+’+0<#+’5#+.%’(只要求出恒成立且对于时的值域+,%>(+0>459#+’<#+’的最小值即可8为其中任意但是一个确定的常#?(@’(万方数据@?+3,3+-I由于<#+’55#+,%’-数(那么<#/’;?8+,%&GGW年第!期中学数学月刊X.$XL以抽象函数为依托-求字母取值范围!!%&’"#$()+!’",$(-例已知是定义在上的"#$*"#$L8’"(<#$-$B奇函数且若!-8’$(+$-3-M:<#$-$B-39当且仅当"#$+即"+.时不等式"#$时总有8’3(98’M(成立若不等取等号故所以MNG,G6-/’"(012+!-34/’"(012+39M式&对所有!-即实数3的取值范围为’#5-!(68’"(4O#&3O9$":<#$-恒成立求实数的取值范7以二次函数为依托-求字母取值范围$B-3:’#$-$(-O围例7设二次函数8’"(+"&#&3"96解由于当&-其中3:;6当":<#$-95(时-8’"(3-M:<#$-$B-39MNG恒成立求实数的取值范围8’3(98’M(%3-36时总有,G成立-所以当3NM39M解由题意-3="&#&3"9&在<#$-时总有8’3(98’#M(&,G695(上恒成立-而8’"(+"#&3"9&+39’#M(因为是定义在上的奇函’"#3(&9&#3&在<#$-95(上的最小8’"(<#$-$B值为8’3(#8’M(>数-所以,G-即8’"(在<#$-3#M@&#3&-3:<#$-95(-上是增函数所以在上的最8’"(012+?$B68’"(<#$-$BA.9&3-3:’#5-#$(6大值为故当8’"(0HI+8’$(+$-":<#$-@3%#$-由可知或时&即&