一切为了学生，为了一切学生，为了学生的一切我们一直在努力，相信我们会做的更好！博思教育课堂教案学生姓名授课教师日期（周次）授课题目（教学章节或教学主题）：和差倍分、平行与垂直重点难点证明时辅助线的作法一、和差倍分问题线段或角的和差倍分问题，一般是通过平移、轴对称或旋转等变换构造全等代换线段，最终转化为证明相等的问题。1．如图①，在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°,则有结论EF=BE+FD成立；（1）如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF=BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）若将（1）中的条件改为：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF=BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.解：（1）结论EF=BE+FD成立.延长EB到G，使BG=DF，连接AG.∵∠ABG=∠D=90°,AB=AD，∴△ABG≌△ADF.∴AG=AF且∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．又AE=AE，∴△AEG≌△AEF.∴EG=EF．即EF=BE+BG=BE+FD．（2）结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BE-FD．在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．∵∠B+∠ADC=180°,∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF．∵AB=AD，∴△ABG≌△ADF.∴AG=AF．∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF.∴EG=EF即EF=BE-BG=BE-FD．此题可有如下变式：变习题设E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上滑动保持且，APEF于点P.(1)求证：AP=AB；(2)若AB=5，求的周长。解：（1）将绕点A按逆时针方向旋转，得，，即F、D、G在一条直线上.AE=AG，AF=AF，，.,即AP=AB.（2），EF=FG.的周长=CE+EF+CF=CE+FG+CF,DG=BE,的周长=CE+EF+CF=BC+DC=52=10.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是AB上一个动点，若∠B=60°，AB=BC，且∠DEC=60°,确定AD+AE与BC的关系解:有BC=AD+AE.连结AC,过E作EF∥BC交AC于F点.则可证△AEF为等边三角形.即AE=EF及∠AEF=∠AFE=60°.所以∠CFE=120°.又AD∥BC,∠B=60°,故∠BAD=120°.又∠DEC=60°,所以∠AED=∠FEC.在△ADE与△FCE中,∠EAD=∠CFE,AE=EF,∠AED=∠FEC,所以△ADE≌△FCE.所以AD=FC.则BC=AD+AE.变习题如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，AB=AC，∠ABD=60°，过D作ED⊥AD，交AC于点E，恰有DE平分∠BDC．试判断线段CD、BD与AC之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．结论：AC=BD+CD．证法一：延长BD至，使得D=DC．∵DE平分∠BDC，∴∠1=∠2．∵ED⊥AD，∴∠ADC=90°+∠1，∠3=90°-∠2．∵∠AD=180°-∠3=90°+∠2．∴∠ADC=∠AD．在△ADC和△AD中，∴△ADC≌△AD（SAS）．∴AC=A．∵AB=AC，∴AB=A．∵∠ABD=60°，∴△AB是等边三角形．∴A=B，∴AC=BD+CD．证法二：延长CD至，使D=DB．∵ED⊥AD，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°．∵DE平分∠BDC，∴∠1=∠2．∴∠3=∠4．在△ADB和△AD中，∴△ADB≌△AD（SAS）．∴AB=A，∠ABD=∠=60°．∴AC=A．∴△AC是等边三角形．∴AC=C．∴AC=BD+CD．二、位置关系的证明位置关系的证明以线段的平行、垂直为主，对于这类问题的解决方法，大家也要注意总结归纳。比如证明垂直的方法除了利用角度推导外，还可以考虑勾股定理的逆定理、等腰三角形三线合一、三角形中一边中线等于这边一半等方法；平行证明除了利用同位角、内错角、同旁内角的关系外，还可利用中位线定理、对应线段成比例得出平行等方法。已知：如图，矩形ABCD中，延长BC至E点，使BE=BD，连结DE，若F是DE的中点．试确定线段AF与CF的位置关系．解：AF⊥CF[一]连BF，易证△ADF≌BCF（SAS）∴∠DFA=∠CFB∴∠BFA+∠CFB=∠BFA+∠DFA=90°[二]连AC交