4-4欧拉图1、哥尼斯堡七桥问题欧拉巧妙地把哥尼斯堡城图化为图4.4.2所示图G，他把陆地设为图G中的结点，把桥画成相应地联结陆地即结点的边。于是，通过哥尼斯堡城中每座桥恰好一次问题，等价于在图G中从某一结点出发找出一条链，它通过每条边恰好一次后回到原出发结点，亦即等价于在图G中寻找一个圈，它通过G中每一条边恰好一次。AA2、欧拉图(Euler)证明思路：1)先证必要性:G有欧拉路G连通且（有0个或2个奇数度结点）设G的欧拉路是点边序列v0e1v1e2…ekvk，其中结点可能重复，但边不重复。因欧拉路经过（所有边）所有结点，所以图G是连通的。对于任一非端点结点vi，在欧拉路中每当vi出现依次，必关联两条边，故vi虽可重复出现，但是deg(vi)必是偶数。对于端点,若v0=vk，则deg(v0)必是偶数，即G中无奇数度结点。若v0≠vk，则deg(v0)必是奇数，deg(vk)必是奇数,即G中有两个奇数度结点。必要性证完。2)再证充分性:(证明过程给出了一种构造方法)G连通且（有0个或2个奇数度结点）G有欧拉路(1)若有2个奇数度结点,则从其中一个结点开始构造一条迹,即从v0出发经关联边e1进入v1,若deg(v1)为偶数,则必可由v1再经关联边e2进入v2,如此下去,每边仅取一次,由于G是连通的,故必可到达另一奇数度结点停下,得到一条迹L1:v0e1v1e2…ekvk。若G中没有奇数度结点,则从任一结点v0出发,用上述方法必可回到结点v0,得到一条闭迹。(2)若L1通过了G的所有边,L1就是一条欧拉路。(3)若G中去掉L1后得到子图G’,则G’中每个结点度数都为偶数,因为原来的图G是连通的,故L1与G’至少有一个结点vi重合,在G’中由vi出发重复(1)的方法,得到闭迹L2。(4)当L1与L2组合,若恰是G,得欧拉路,否则重复(3),可得闭迹L3,依此类推可得一条欧拉路。充分性证完由于有了欧拉路和欧拉回路的判别准则，因此哥尼斯堡七桥问题立即有了确切的否定答案，因为从图中可以看到deg(A)＝5，deg(B)＝deg(C)＝deg(D)=3，故欧拉回路必不存在。4、一笔画问题要判定一个图G是否可一笔画出，有两种情况：一是从图G中某一结点出发，经过图G的每一边一次仅一次到达另一结点。另一种就是从G的某个结点出发，经过G的每一边一次仅一次再回到该结点。上述两种情况分别可以由欧拉路和欧拉回路的判定条件予以解决。311页(3)完全图Kn每个结点的度数为n-1，要使n-1为偶数，必须n为奇数。故当n为奇数时，完全图Kn有欧拉回路。5.定义4-4.2：给定有向图G，通过图中每边一次且仅一次的一条单向路（回路），称作单向欧拉路（回路）。例1有向欧拉图应用示例：计算机鼓轮的设计。鼓轮表面分成24=16等份，其中每一部分分别用绝缘体或导体组成，绝缘体部分给出信号0，导体部分给出信号1，在下图中阴影部分表示导体，空白体部分表示绝缘体，根据鼓轮的位置，触点将得到信息4个触点a,b,c,d读出1101(状态图中的边e13),转一角度后将读出1010(边e10)。问鼓轮上16个部分怎样安排导体及绝缘体才能使鼓轮每旋转一个部分，四个触点能得到一组不同的四位二进制数信息。0设有一个八个结点的有向图，如下图所示。其结点分别记为三位二进制数{000，001，……，111}，设ai{0,1}，从结点a1a2a3可引出两条有向边，其终点分别是a2a30以及a2a31。该两条边分别记为a1a2a30和a1a2a31。按照上述方法，对于八个结点的有向图共有16条边，在这种图的任一条路中，其邻接的边必是a1a2a3a4和a2a3a4a5的形式，即是第一条边标号的后三位数与第二条边的头三位数相同。由于图中16条边被记为不同的二进制数，可见前述鼓轮转动所得到16个不同位置触点上的二进制信息，即对应于图中的一条欧拉回路。010所求的欧拉回路为：e0e1e2e4e9e3e6e13e10e5e11e7e16e14e12e8(e0)（从图示位置开始）e13e10e5e11e7e16e14e12e8e0e1e2e4e9e3e6(e13)所求的二进制序列为：0000100110101111(0)1101011110000100(1)（从图示位置开始）1、定义4-4.3：给定图G，若存在一条路经过图中的每个结点恰好一次，这条路称作汉密尔顿路。若存在一条回路，经过图中的每个结点恰好一次，这条回路称作汉密尔顿回路。具有汉密尔顿回路的图称作汉密尔顿图。图4-4.6存在一条汉密尔顿回路，它是汉密尔顿图2、定理4-4.3若图G＝<V，E>具有汉密尔顿回路，则对于结点集V的每个非空子集S均有W(G-S)≤|S|，其中W(G-S)是G-S的