导数压轴题精选三、解答题：10．已知函数、（，且），其中为常数．如果函数是上的增函数，且函数存在零点（函数为函数的导函数）．⑴求实数的值；⑵设、是函数的图象上两点，又（为的导函数），证明：．10．已知函数，且．⑴若函数在其定义域内为单调函数，求的取值范围；⑵若函数的图象在处的切线的斜率为，且，又已知，求证：；⑶在⑵的条件下，试比较与的大小，并说明你的理由．10．定义：对于函数，若对于定义域内的任意恒成立，则称函数为上的函数．⑴判断函数是否为其定义域上的函数，并证明你的结论；⑵若函数为上的函数，试比较与的大小；⑶若函数为上的函数，求证：对于定义域内的任意正数、、、，均有成立．10．对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点．如果函数有且仅有两个不动点、，且．⑴试求函数的单调区间；⑵已知各项不为零的数列满足，求证：；⑶设，为数列的前项和，求证：．10．设函数．⑴若，求函数的最大值；⑵已知正数、满足，求证：；⑶已知，正数满足，证明：（其中、、、）．10．⑴已知正实数、、满足，求证：；⑵已知，其中，求证：．10．已知函数（、、）．⑴求函数的最小值；⑵证明不等式：，其中、、；⑶证明不等式：，其中、、．10．已知函数的图象在点处的切线方程为．⑴用表示出、；（2010年湖北）⑵若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；⑶证明不等式：．11．⑴已知函数，求函数的最大值；⑵设、均为正数，证明：①若，则；②若，则．12．⑴已知函数，其中为有理数，且．求的最小值；⑵试用⑴的结果证明如下命题：设、，、为正有理数．若，则；⑶请将⑵中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当为正有理数时，有求导公式．13．设是正整数，为正有理数．⑴求函数的最小值；⑵证明：；⑶设，记为不小于的最小整数，例如：、、．令，求的值．14．⑴已知函数（、），求函数的最大值；⑵①证明：，其中、，且、、；②证明：，其中、，且、、．导数压轴题精选三、解答题：10．已知函数、（，且），其中为常数．如果是上的增函数，且存在零点（为的导函数）．⑴求的值；⑵设、是函数的图象上两点，（为的导函数），证明：．解：⑴因为，所以．因为在区间上是增函数，所以在区间上恒成立．若，则，于是恒成立．又存在正零点，故，得或与矛盾．所以．由恒成立，又存在正零点，故，所以，即．⑵由⑴，，于是．以下证明．（※）、（※）等价于．令，，在上，，所以在上为增函数．当时，，即，从而得到证明．对于同理可证，所以．评讲建议：此题主要考查函数、导数、对数函数、二次函数等知识．评讲时注意着重导数在研究函数中的应用．本题的第一小题是常规题比较容易，第二小题是以数学分析中的中值定理为背景，作辅助函数，利用导数来研究函数的性质，是近几年高考的热点．第二小题还可以这样证明：要证明，只要证明，令，作函数，下略．10．已知函数，且．⑴若函数在其定义域内为单调函数，求的取值范围；⑵若函数的图象在处的切线的斜率为，且，又已知，求证：；⑶在⑵的条件下，试比较与的大小，并说明你的理由．解：⑴，．要使函数f(x)在定义域内为单调函数，则在内恒大于0或恒小于0，当在内恒成立；当要使恒成立，则，解得，当恒成立，所以的取值范围为．⑵根据题意得：，于是，用数学归纳法证明如下：当，不等式成立；假设当时，不等式成立，即也成立，当时，，所以当，不等式也成立，综上得对所有时，都有．⑶由⑵得，于是，所以，累乘得：，所以．10．定义：对于函数