四道导数压轴题解析例1：已知函数（，）在和处取到极值．（1）求，和的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）求最大的正整数，使得时，≤与≤同时成立．例1：解：（1）依题意可知，，则：，--------------------------------2分则，，，；------------------------------------------4分（2）由（1）知，的两个根分别是和2，令得或，令得即函数在区间上单调增，在区间上单调减，在区间上单调增，----------------------6分又，，，令，得，其有一个根为，则分解得：，得或；--------8分令，得，其有一个根为2，则分解得：，得或；--------10分则要使得，，，必须满足：；-------12分又∵为正整数，∴最大为4，另一方面，，由于，则要使得，，成立，则，即，-------14分令，则，，则要使得，，成立，，（此处也可以对最大的正整数，在区间上验证）综上所述，最大的正整数为4．----------------------------------------17分例2已知：在函数的图象上，以为切点的切线的倾斜角为．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）是否存在最小的正整数，使得不等式对于恒成立？如果存在，请求出最小的正整数；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）求证：（，）．例2：解：（Ⅰ），依题意，得，即，.…2分∵，∴.……………………3分（Ⅱ）令，得.…………………………4分当时，；当时，；当时，.又，，，.因此，当时，.要使得不等式对于恒成立，则.所以，存在最小的正整数，使得不等式对于恒成立.（Ⅲ）方法一：.又∵，∴，.∴.综上可得，（，）.………14分方法二：由（Ⅱ）知，函数在[-1，]上是增函数；在[,]上是减函数；在[，1]上是增函数.又，，，.所以，当x∈[-1，1]时，，即.∵，∈[-1，1]，∴，.∴.……11分又∵，∴，且函数在上是增函数.∴.…………………13分综上可得，（，）.……………14分例3：定义在的三个函数f(x)、g(x)、h(x),已知f(x)=lnx,g(x)=,且g(x)在x=1处取极值。（I）求a值及h(x)的单调区间；（II）求证：当1<x<时，恒有（III）把h(x)对应的曲线向上平移6个单位后得曲线，求与g(x)对应曲线的交点个数，并说明道理.例3：解（I）由题意：∴a=2……………………………………………2分而所以h(x)在上为增函数，h(x)在上为增函数。…………4分（II）欲证：只需证：，即证：记∴∴当x>1时，为增函数……………………………….9分即∴结论成立………………………………………………………………10分（III）由（1）知：∴对应表达式为∴问题转化成求函数即求方程：即：设∴当时，为减函数.当时，为增函数.而的图象开口向下的抛物线∴与的大致图象如图：∴与的交点个数为2个.即与的交点个数为2个.…………………………………16分例4：设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程有实数根；②函数的导数满足.”（I）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；（II）集合M中的元素具有下面的性质：若的定义域为D，则对于任意[m，n]D，都存在[m，n]，使得等式成立”，试用这一性质证明：方程只有一个实数根；（III）设是方程的实数根，求证：对于定义域中任意的.解：（1）因为，…………2分所以满足条件………………3分又因为当时，，所以方程有实数根0.所以函数是集合M中的元素.…………4分（2）假设方程存在两个实数根），则，………5分不妨设，根据题意存在数使得等式成立，……………………7分因为，所以，与已知矛盾，所以方程只有一个实数根；…………9分（3）不妨设，因为所以为增函数，所以，又因为，所以函数为减函数，………………10分所以，…………11分所以，即…………12分所以