高等数学习题及答案一、填空题（每小题3分，共21分）1．设f(x,y)axby,其中a,b为常数，则f(xy,f(x,y)).axyabxb2y2．函数zx2y2在点(1,2)处，沿从点(1,2)到点(2,23)的方向的方向导数是.1233．设有向量场Ay2ixyjxzk，则divA.2x1x2114．二重积分dxf(x,y)dy交换积分次序后为.dyf(x,y)dx000y(x3)n5．幂级数的收敛域为.[0,6)n3nn1dz6．已知zex2y，而xsint,yt3，则esint2t3(cost6t2)dt7．三重积分dv3，其中是由x0,x1,y0,y1,z0,z3所围成的立体.二、计算题（一）（每小题7分，共21分）21．设a2,b5,a与b的夹角为，向量ma17b与n3ab相互垂直，求.32解：由0mn3a2(51)ab17b212(51)25cos17253得40.2x3yz502．求过点(1,2,1)且与直线垂直的平面方程.3xy2z40ijk解：直线的方向向量为s2315,7,11312取平面的法向量为ns，则平面方程为5(x1)7(y2)11(z1)0即5x7y11z80.3．曲面xyz32上哪一点处的法线平行于向量S{2,8,1}？并求出此法线方程.解：设曲面在点M(x,y,z)处的法线平行于s，令Fxyz32则在点M(x,y,z)处曲面的yzxzxy法向量为n{F,F,F}{yz,xz,xy}.由于ns,故有.由此解得xyz281x4y,z8y，代入曲面方程，解得M(x,y,z)的坐标为(4,1,8)，用点向式即得所求法线x4y1z8方程为281三、计算题（二）（每小题7分，共21分）yzz1．设zxyxF()，其中F(u)为可导函数，求xy.xxyzyz解：yF(u)F(u),xF(u)xxyzzxy2xyxFzxyxydex1n2．将函数f(x)展成x的幂级数，并求的和.dxx(n1)!n1ex111解：1xxn1x2!n!并在(,)内收敛。12n1nf(x)xxn2xn1,x(,)2!3!n!(n1)!n1nex1f(1)1(n1)!xx1n1dy3．求微分方程y1(y)2,y的通解.dx解：令yp,则yp，原方程化为dpp1p2dxptan(xc)1p21ytan(xc)dxlncos(xc)c112四、计算题（三）（每小题8分，共24分）1．求曲线积分Iy3dx(3xx3)dy的值，其中L为x2y2R2(R0)的正向.L解：记L所围成的区域为D，利用格林公式得2RIy3dx(3xx3)dy(33x23y2)dxdy3d(12)dLD0013R2(1R2)22．求微分方程yy4xex的通解.解：对应的齐次方程为yy0，它的特征方程为r210，其根为r1,r1，该12齐次方程的通为YCexCex。12因1是特征方程的单根，所以设原方程的一个特为y•x(axb)ex代入原方程得a1,b1，于是，求得y•x(x1)ex原方程的通解为yCexCexx(x1)ex12ez3．计算曲面积分Idxdy，其中为锥面zx2y2与平面z1,z2所x2y2围立体表面的外侧.解：记:z2,:zx2y2,:z1123ezez22e2则Idxdydxdydd4e2.1x2y2x2y2D001xyezex2y222eIdxdydxdydd2(e2e).2x2y2x2y2