第二章习题2-11.试利用本节定义5后面的注（3）证明：若limx=a,则对任何自然数k，有limx=a.nn+knn证：由limxa，知0，N，当nN时，有n11n取NNk，有0，N，设nN时（此时nkN）有11由数列极限的定义得limxa.nkx2.试利用不等式ABAB说明：若limx=a,则lim∣x∣=|a|.考察数列x=(-1)n，说明上nnnnn述结论反之不成立.证：而xaxann于是0，N,使当nN时，有xaxa即xannn由数列极限的定义得limxann考察数列x(1)n，知limx不存在，而x1，limx1，nnnnnn所以前面所证结论反之不成立。3.利用夹逼定理证明：1112n(1)lim=0；(2)lim=0.nn2(n1)2(2n)2nn!1111n1nn2证：（1）因为n2n2(n1)2(2n)2n2n2n12而且lim0，lim0，nn2nn所以由夹逼定理，得111lim0.nn2(n1)2(2n)22n2222244（2）因为0，而且lim0，n!123n1nnnn所以，由夹逼定理得4.利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.1(1)x=，n=1,2,…；nen1(2)x=2,x＝2x,n=1,2,….1n+1n证：（1）略。（2）因为x22，不妨设x2，则1k故有对于任意正整数n，有x2，即数列x有上界，nn又xxx(2x)，而x0,x2，n1nnnnn所以xx0即xx，n1nn1n即数列是单调递增数列。综上所述，数列x是单调递增有上界的数列，故其极限存在。n习题2-21※.证明：limf(x)=a的充要条件是f(x)在x处的左、右极限均存在且都等于a.0xx0证：先证充分性：即证若limf(x)limf(x)a，则limf(x)a.xxxxxx000由limf(x)a及limf(x)a知：xxxx000,0,当0xx时，有f(x)a，1010当0xx时，有f(x)a。202取min,，则当0xx或0xx时，有f(x)a，1200而0xx或0xx就是0xx，000于是0,0，当0xx时，有f(x)a，0所以limf(x)a.xx0再证必要性：即若limf(x)a，则limf(x)limf(x)a,xxxxxx000由limf(x)a知，0,0，当0xx时，有f(x)a，0xx0由0xx就是0xx或0xx，于是0,0，当0xx或00000xx时，有f(x)a.0所以limf(x)limf(x)axxxx00综上所述，limf(x)=a的充要条件是f(x)在x处的左、右极限均存在且都等于a.0xx012.(1)利用极限的几何意义确定lim(x2+a),和limex；x0x01ex,0,x(2)设f(x)=，问常数a为何值时，limf(x)存在.x2a,x0,x0解：（1）因为x无限接近于0时，x2a的值无限接近于a，故lim(x2a)a.x011当x从小于0的方向无限接近于0时，ex的值无限接近于0，故limex0.x0（2）若limf(x)存在，则limf(x)limf(x)，x0x0x0由（1）知limf(x)lim(x2a)lim(x2a)a，x0x0x0所以，当a0时，limf(x)存在。x03.利用极限的几何意义说明limsinx不存在.x解：因为当x时，sinx的值在-1与1之间来回振摆动，即sinx不无限接近某一定直线yA，亦即yf(x)不以直线yA为渐近线，所以limsinx不存在。x习题2-31.举例说明：在某极限过程中，两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定是无穷小量，也不一定是无穷