一、基础知识三角形的心是指重心、外心、垂心、旁心和界心．三角形的心是三角形的重要几何点．在数学竞赛中，有关三角形的心的几何问题是竞赛的热点问题，因此，我们对三角形的心的几何性质做概括归纳，对有关的证明方法和解题技巧做深入探讨．1．重心：设是的重心，的延长线交于，则，，（2）；（3），（4）．2.外心：设⊙（）是的外接圆，于交⊙于，则（1）；（2）或；（3）=；（4）（正弦定理）3.内心：设的内心圆⊙（切边于，的延长线交外接圆于，则（1）;(2)；(3)；(4);4.垂心：设分别是的外心，重心，垂心，于，的延长线交外接圆于，则，（1）；（2）与关于成轴对称；（3）⊙⊙；（4）三点共线，且；5．旁心：设在内的旁切圆⊙（与的延长线切于，则，（1）；（2）；（3）；（4）；（5）6．三角形中内切圆、旁切圆和外圆半径的几个关系在△中，内切圆⊙分别与三边相切于点，边上的帝切圆⊙与边切于点，且分别与边和这的延长线相切于点、点．设三边、、分别为，分别为，，内切圆半径为，旁切圆半径分别为，外接圆半径为，三角形面积为，则有如下关系式：（1），，；（2）；（3）直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半；（4）；（5）；（6）7．界心如果三角形一边上的一点和这边对的顶点把三角形的周界分割为两条等长的折线，那么就称这一点为三角形的周界中点．其中三角形的周界是指由三角形的三边所组成的围．由于三角形的任意两边之和大于第三边，可知三角形任一边上的周界中点必介于这边两端点之间．三角形的顶点与其对边的周界中点的连线，叫三角形的周界中线（有时也称周界中线所在直线为三角形的周界中线）．三角形的周界中线交于一点．定义：称三角形的周界中线的交点为三角形的界心．二、例题分析例1．设△的外接圆的半径为，内心为，，，的外角平分线交圆于，证明：（1）；（2）．【证明】（1）延长交外接圆于，连结，易知，故△为正三角形，∴．易证，∴．同理，，即在以为圆心，为半径的圆上，设的延长线交于，则、分别为的内、外角平分线，，即为⊙的直径，∴．又在⊙中，，∴，但⊙与⊙为等圆，故．（2）连接，同上易证，又，∴△为等边三角形，∵，记为∴由知，，从而有，即∴，又，故．例2．锐角△的外心为，线段的中点分别为、．，．求．【解】设，则，，又；从而即为等腰三角形，∵，∴，又∵，∴例3．如图分别为△的外心和内心，是边上的高。在线段求证：△的外接圆半径等于边上的旁切圆半径。证明（1）记，设的延长线交△的外接圆于，则是圆的半径，记为，因为⊥，所以∥，从而(1)=，=，∠=∠，∠，所以（2）由（1）、（2）得，所以设△的边上的旁切圆半径为，则。所以，即△的外接半径等于边上的旁切圆半径。证明（2）记，△的边上的旁切圆半径为，△的边上的高为，设交于，交外接圆于，连，⊥，，，，△∽△，又由⊥，知∥，有，即,但△∽△，有，代入上式，得，即△的外接半径等于边上的旁切圆半径。证明（3），△的边上的旁切圆半径为，△的外接半径，作⊥于，⊥于。∵∠=∴，∴。，∴又，∴。证明（4）记，设的延长线交△的外接圆于，连交于，则⊥，作⊥于，则∥∥，由三点共线，∴，∵，∴，故，又，∴。证明（5）连并延长交△的外接圆于，设旁切圆圆心，则在的延长线上，连，过作⊥于。连，，，，，，则，分别为外接圆半径及旁切圆半径。又四点共圆。，设为的外接圆的圆心，即。又，∴，又∥，∴，∴∥，∠=∠，而共线，⊥，⊥，∴∥，故∠=∠，∠=∠，，∴，故=，即例4．设是△的边上作一内点，分别是△、△、△的内切圆半径；分别是这些三角形在、、内的旁切圆半径．试证：．【证明】设又设△的内切圆的圆心为，且与切于（如图），于是，从而有：由于三角形的角的内、外平分线互相垂直，因而类似地有：进而有：；类似的结论对于△和△也成立，故有和，以上式子相乘即可得结论：．例5．设为△的内心，其△内切圆切三边、和于点、、，过点平行于的直线分别交直线和于点和．求证：为锐角．【证明】为了证为锐角．由余弦定理，只要证．为此我们来计算。由∥，考虑△及△，于是．同理：，而，同理：，由正弦定理，有，，，因此。又，所以．又，所以考虑直角△，△，△有注意到，因此．所以，下面讨论界心的两个性质．例6．设分别为△的边上的周界中点，、分别为△的外接圆和内切圆半径，则（1）；（2）．【证明】设，，，，则由题设条件易知，由三角形面积比的性质，有，同理有：；从而：把三角形恒等式和代入并整理，得，．由欧拉不等式，得，．三、训练题1．已知是的垂心，且，试求的度数．2．分别为的边上的点，且，，又设△、△、△均为锐角三角形，其垂心依次为，求