目录1.去掉"如图",变化多2.如何学好绝对值3.平角应用四例4.平行线分线段成比例定理的应用5.转化思想在代数中的应用6.整式除法精讲7.应用非负性质解题8.一元一次方程解的讨论9.一些数学思想在解题中的应用10.类二次根式题的统一解法11.一次方程组的几处应用12.学好与用好幂的法则13.需要分类求解的行程问题14.完全平方公式变形的应用15.数形结合思想在几何中的应用去掉"如图",变化多一个几何问题,如果给出了图形,那么除了直观这一功能之外,还可能限制人们更广泛的自由思考。下面就是一例:如图1,⊙O1和⊙O2都经过A、B两点,经过点A的直线CD与⊙O1交于C,与⊙O2交于点D。经过点B的直线EF与⊙O1交于点E,与⊙O2交于点F。求证:CE∥DF(初三《几何》)证明:连结AB因为ABEC是⊙O1的内接四边形所以∠BAD=∠E又ADFB是⊙O2的内接四边形所以∠BAD+∠F=180°所以∠E+∠F=180°故CE∥DF这个题并不难,但是,若去掉"如图"二字,然后依据题意画图,便可发现满足要求的图形还不少:(1)公共弦两边各有两点(三种,第一种如图1,与课本图相同)。(2)公共弦两边分别有一个点和三个点(两种)。(3)四个点全在公共弦的同一侧(两种)。不管是哪一种情况,都可以通过连结AB,这条辅助线做出(当然也有其它方法),用到的其它知识点也与图1中的大同小异。但要构造出这些图形,尤其是通过分类来研究这个问题,无疑可以训练思维;而且在这个过程中体会一下包含的数学思想也十分重要。事实上,不少数学题??都可以用类似的方法进行更深一步的研究。尤其是一些几何题,自由地变一下图形,自由地换一下条件,都可以得到一些新的东西,这也是培养学生主动研究数学,深入探究的一个好方法。如何学好绝对值绝对值是中学数学的一个重要概念,学好它非常重要。要学好绝对值,除了熟练掌握正负数、相反数和绝对值的性质外,还应掌握绝对值的几何意义,具体来说要注意以下几点。一、正确判断正负数,准确写出相反数例1.三个数a、b、c在数轴上的对应点如图1,化简aabcbc_____。解:由图1可知cbabcba000,,,,||||。abbc00,∴原式aabcbc0二、逆用绝对值的性质解题例2.已知ab123,||,且ab,则ab的值为_________。解:22a12或a12a3或a1同理可得b3abab33,或ab13,故ab的值为0或4三、利用好绝对值的非负性例3.已知aab3250,求ab的值。解:a3与ab25都是非负数,且它们的和为零a30且ab250abab34341,四、注意零这一特殊数例4.如果aa440,那么a的取值范围是_________。解:由已知式可知aa44a4与4a互为相反数aa404注意:在这里许多同学只重视a4是一个负数,而忽视了a40也成立???一特殊性,易把答案填为a4。五、要有分类讨论的思想例5.求代数式aabbabab2的值。解:(1)当ab00,时,原式aabbabab21214(2)当ab00,时,原式aabbabab21212(3)当ab00,时,原式aabbabab21212(4)当ab00,时,原式aabbabab21210综上所述,所求代数式的值为4、2和0。六、熟练掌握其几何意义例6.求31xx的最小值。解:如图2,设数轴上的三点A、B、C所表示的数分别为1、3、x,其中C可视为一个动点,这样,此题就可转化为求ACBC的最小值。由图形可知,当???C在线段AB上时ACBC最小,此时ACBCAB2,故当13x时,31xx有最小值,其最小值为2。平角应用四例1.延长线段构造平角例1如图1,AB//CD。求证:CEAAC证明:延长CE交AB于点F因为AB//CD所以C=CFA因为又所以ACFAAEFCEAAEFCEAAC1801802.过某点作直线构造平角例2如图2,已知ABC,求证:ABC180。证明:过点A作DE//BC,则13BC,又所以123180180BACBC3.过直线上一点作射线构造平角例3如图3,已知ABC,求证:ABC180证明:在BC上取一点D(点D不与B、C重合),过点D分别作DE//AC交AB于E,DF//AB交AC于F因为DE//AC所以1=C,2=4因