PAGE\*MERGEFORMAT24第29届全国中学生物理竞赛复赛试卷答案与评分标准一、参考解答：由于湖面足够宽阔而物块体积很小，所以湖面的绝对高度在物块运动过程中始终保持不变，因此，可选湖面为坐标原点并以竖直向下方向为正方向建立坐标系，以下简称系.设物块下底面的坐标为，在物块未完全浸没入湖水时，其所受到的浮力为()(1)式中为重力加速度.物块的重力为(2)设物块的加速度为，根据牛顿第二定律有(3)将(1)和(2)式代入(3)式得(4)将系坐标原点向下移动而建立新坐标系，简称系.新旧坐标的关系为(5)把(5)式代入(4)式得(6)(6)式表示物块的运动是简谐振动.若，则，对应于物块的平衡位置.由(5)式可知，当物块处于平衡位置时，物块下底面在系中的坐标为(7)物块运动方程在系中可写为(8)利用参考圆可将其振动速度表示为(9)式中为振动的圆频率(10)在(8)和(9)式中和分别是振幅和初相位，由初始条件决定.在物块刚被释放时，即时刻有，由(5)式得(11)(12)由(8)至(12)式可求得(13)(14)将(10)、(13)和(14)式分别代人(8)和(9)式得(15)(16)由(15)式可知，物块再次返回到初始位置时恰好完成一个振动周期；但物块的运动始终由(15)表示是有条件的，那就是在运动过程中物块始终没有完全浸没在湖水中.若物块从某时刻起全部浸没在湖水中，则湖水作用于物块的浮力变成恒力，物块此后的运动将不再是简谐振动，物块再次返回到初始位置所需的时间也就不再全由振动的周期决定.为此，必须研究物块可能完全浸没在湖水中的情况.显然，在系中看，物块下底面坐标为时，物块刚好被完全浸没；由(5)式知在系中这一临界坐标值为（17）即物块刚好完全浸没在湖水中时，其下底面在平衡位置以下处.注意到在振动过程中，物块下底面离平衡位置的最大距离等于振动的振蝠，下面分两种情况讨论：I．.由(13)和(17)两式得(18)在这种情况下，物块在运动过程中至多刚好全部浸没在湖水中.因而，物块从初始位置起，经一个振动周期，再次返回至初始位置.由(10)式得振动周期(19)物块从初始位置出发往返一次所需的时间(20)II．.由(13)和(17)两式得(21)在这种情况下，物块在运动过程中会从某时刻起全部浸没在湖水表面之下.设从初始位置起，经过时间物块刚好全部浸入湖水中，这时.由(15)和(17)式得(22)取合理值，有(23)由上式和(16)式可求得这时物块的速度为(24)此后，物块在液体内作匀减速运动，以表示加速度的大小，由牛顿定律有(25)设物块从刚好完全浸入湖水到速度为零时所用的时间为，有(26)由(24)-(26)得(27)物块从初始位置出发往返一次所需的时间为(28)评分标准：本题17分.（6）式2分，（10）（15）（16）（17）（18）式各1分，（20）式3分，（21）式1分，（23）式3分，（27）式2分，（28）式1分.二、参考答案：1.Ri.通过计算卫星在脱离点的动能和万有引力势能可知，卫星的机械能为负值.由开普勒第一定律可推知，此卫星的运动轨道为椭圆（或圆），地心为椭圆的一个焦点(或圆的圆心)，如图所示.由于卫星在脱离点的速度垂直于地心和脱离点的连线，因此脱离点必为卫星椭圆轨道的远地点（或近地点）；设近地点（或远地点）离地心的距离为，卫星在此点的速度为.由开普勒第二定律可知(1)式中为地球自转的角速度.令表示卫星的质量，根据机械能守恒定律有（2）由（1）和（2）式解得(3)可见该点为近地点,而脱离处为远地点.【（3）式结果亦可由关系式：直接求得】同步卫星的轨道半径满足(4)由(3)和(4)式并代入数据得(5)可见近地点到地心的距离大于地球半径，因此卫星不会撞击地球.ii.由开普勒第二定律可知卫星的面积速度为常量，从远地点可求出该常量为(6)设和分别为卫星椭圆轨道的半长轴和半短轴，由椭圆的几何关系有(7)(8)卫星运动的周期为(9)代人相关数值可求出（10）卫星刚脱离太空电梯时恰好处于远地点，根据开普勒第二定律可知此时刻卫星具有最小角速度，其后的一周期内其角速度都应不比该值小，所以卫星始终不比太空电梯转动得慢；换言之，太空电梯不可能追上卫星.设想自卫星与太空电梯脱离后经过（约14小时），卫星到达近地点，而此时太空电梯已转过此点，这说明在此前卫星尚未追上太空电梯.由此推断在卫星脱落后的0-12小时内二者不可能相遇；而在卫星脱落后12-24小时内卫星将完成两个多周期的运动，同时太空电