构造可导函数证明不等式◎李思阳本溪市机电工程学校117022【内容简要】构造辅助函数，把不等式证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而证得不等式。而如何构造一个可导函数，是用导数证明不等式的关键。本文从热门的高考题及模拟题中选出四种类型题供师生们参考。【关键词】构造辅助函数；导数；不等式。直接作差1（2011·辽宁文科）设函数，曲线过（1，0），且在点处的切线斜率为2.求，的值；证明：。（1）解：=1+.由已知条件得，=2，即解得。(2)证明:因为的定义域为（0，+∞），由（1）知。设=，则==。当0＜＜1时，＞0，当＞1时，＜0。所以在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递减。而=0，故当＞0时，≤0，即。总结：直接作差，用导数得=0，从而得证。直接作差是证这类题最常用的方法。分离函数2.（2011·课标全国卷文科）已知函数，曲线在点（1，）处的切线方程为。（1）求，的值；（2）证明：当＞0，且时，＞。(1)解:略，。（2）证明：由（1）知，所以=。考虑函数=2（＞0），则==。所以当时，＜0，而，故当∈（0，1）时，＞0，可得＞0；当∈（1，+∞）时，＜0，可得＞0。从而当＞0，且时，＞。总结：作差后的函数如可分为两个函数的积，直接求导很繁，可取其中一个函数求导，再讨论证明。巧妙变形3.（2010·辽宁文科）已知函数。（1）讨论函数的单调性；（2）设，证明：对任意，∈（0，+∞），。解：（1）略。不妨设≥，由于，故在（0，+∞）减少。所以等价于≥-，即≥。令，则==。于是≤≤0。从而在（0，+∞）单调减少，故≤。即≤，故，对任意，∈（0，+∞），。总结：通过等价变形，构造函数，利用的单调性得证。作函数积4.（2011·本溪一中模拟）对任意的（0，﹢∞），求证：＞。证明:对任意的（0，﹢∞），＞>()设函数=，=+。=，=0，得，易知==—。=，=0，得1，易知==。∵，∴＞，∴。∴+。因此＞。总结：直接做不好做，不等式两边同乘以一个函数，先进行证明，得到结果后再同除以这个函数，从而证得。