2013年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．7.双曲线ᵆ2−ᵆ2=1的离心率大于√2的充分必要条件是（）ᵅ1.已知集合ᵃ={−1, 0, 1}，ᵃ={ᵆ|−1≤ᵆ<1}，则ᵃ∩ᵃ=（）A.ᵅ>1B.ᵅ≥1C.ᵅ>1D.ᵅ>22A.{0}B.{−1, 0}C.{0, 1}D.{−1, 0, 1}8.如图，在正方体ᵃᵃᵃᵃ−ᵃᵃᵃᵃ中，ᵄ为对角线ᵃᵃ的三等分点，ᵄ到各顶点的距离的不同取值有（）2.设ᵄ，ᵄ，ᵅ∈R，且ᵄ>ᵄ，则()11111A.ᵄᵅ>ᵄᵅB.1<1C.ᵄ2>ᵄ2D.ᵄ3>ᵄ3ᵄᵄ3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0, +∞)上是单调递减的是()A.ᵆ=1B.ᵆ=ᵅ−ᵆC.ᵆ=−ᵆ2+1D.ᵆ=lg|ᵆ|ᵆA.3个B.4个C.5个D.6个4.在复平面内，复数ᵅ(2−ᵅ)对应的点位于（）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限若抛物线ᵆ2=2ᵅᵆ的焦点坐标为(1, 0)，则ᵅ=________；准线方程为________．5.在△ᵃᵃᵃ中，ᵄ=3，ᵄ=5，sinᵃ=1，则sinᵃ=（）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为________．3A.1B.5C.√5D.15936.执行如图所示的程序框图，输出的ᵄ值为()}满足ᵄ+ᵄ=20，ᵄ+ᵄ=40，则公比ᵅ=________；前ᵅ项和ᵄ=________．若等比数列{ᵄᵅ2435ᵅᵆ≥0设ᵃ为不等式组{2ᵆ−ᵆ≤0表示的平面区域，区域ᵃ上的点与点(1, 0)之间的距离的最小值为________．ᵆ+ᵆ−3≤0ᵆ,ᵆ≥1log1函数ᵅ(ᵆ)={2的值域为________．A.1B.2C.13D.6102ᵆ,ᵆ<1321987◎→→→已知点ᵃ(1, −1)，ᵃ(3, 0)，ᵃ(2, 1)．若平面区域ᵃ由所有满足ᵃᵄ=ᵰᵃᵃ+ᵰᵃᵃ(1≤ᵰ≤2, 0≤ᵰ≤1)的点ᵄ组成，则ᵃ的面积为________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．1已知函数ᵅ(ᵆ)=(2cos2ᵆ−1)sin2ᵆ+cos4ᵆ．2(1)求ᵅ(ᵆ)的最小正周期及最大值；(2)若ᵯ∈(ᵰ,ᵰ)，且ᵅ(ᵯ)=√2，求ᵯ的值．(1)ᵄᵃ⊥底面ᵃᵃᵃᵃ；22(2)ᵃᵃ // 平面ᵄᵃᵃ；如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(3)平面ᵃᵃᵃ⊥平面ᵄᵃᵃ．已知函数ᵅ(ᵆ)=ᵆ2+ᵆsinᵆ+cosᵆ.(1)若曲线ᵆ=ᵅ(ᵆ)在点(ᵄ ᵅ(,ᵄ处与直线))ᵆ=ᵄ相切，求ᵄ，ᵄ的值；(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)若曲线ᵆ=ᵅ(ᵆ)与直线ᵆ=ᵄ有两个不同交点，求ᵄ的取值范围．(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；ᵆ2直线ᵆ=ᵅᵆ+ᵅ(ᵅ≠0)与椭圆ᵄ:+ᵆ2=1相交于ᵃ，ᵃ两点，ᵄ是坐标原点．4(1)当点ᵃ的坐标为(0, 1)，且四边形ᵄᵃᵃᵃ为菱形时，求ᵃᵃ的长；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）(2)当点ᵃ在ᵄ上且不是ᵄ的顶点时，证明：四边形ᵄᵃᵃᵃ不可能为菱形．如图，在四棱锥ᵄ−ᵃᵃᵃᵃ中，ᵃᵃ // ᵃᵃ，ᵃᵃ⊥ᵃᵃ，ᵃᵃ=2ᵃᵃ，平面ᵄᵃᵃ⊥底面ᵃᵃᵃᵃ，ᵄᵃ⊥ᵃᵃ．ᵃ和ᵃ给定数列ᵄ1，ᵄ2，…，ᵄᵅ．对ᵅ=1，2，…，ᵅ−1，该数列前ᵅ项的最大值记为ᵃᵅ，后ᵅ−ᵅ项ᵄᵅ+1，ᵄᵅ+2，…，ᵄ=ᵃ−ᵃ分别是ᵃᵃ和ᵄᵃ的中点，求证：ᵅ的最小值记为ᵃᵅ，ᵅ
ᵅᵅᵅ．(1)设数列{ᵄ}为3，4，7，1，写出ᵅ
ᵅ1，ᵅ
2，ᵅ
3的值；(2)设ᵄ(ᵅ≥4)是公比大于1的等比数列，且ᵄ>0．证明：ᵅ
1，ᵄ2，…，ᵄᵅ−111，ᵅ
2，…，ᵅ
ᵅ−1是等比数列；(3)设ᵅ
>0．