数学软件的函数绘制原理宋丛威邸继征浙江工业大学理学院,浙江杭州,310023摘摘摘要要要：本文对数学软件绘制函数（包括曲线、曲面）做了经验总结.给出了函数图像绘制的理论依据和简化方法.关关关键键键字字字:函数图像;数学软件;参数化;伪代码1引引引言言言虽然抽象推理总是数学主导观念，但是人们总是希望对函数有直观的认识.数值计算的发展，复杂函数的发现使这种渴望变得越来越迫切.理论数学家也希望能从直观的函数图形中获得启示.数学软件的出现使得函数及各种几何图形的精确绘制成为可能.这也就是所谓的数据可视化.工程科研人员可以对自己的样本数据的分布、趋势特性有一个直观的了解.[2]像MATLAB这样的数学软件基本上可以胜任大多场合的需求.[1]可是实践当中，复杂函数的作图依然是一件技术性很强又耗时间的任务，需要理论的指导加以简化.本文就是要建立一些定理来指导人们更合理的绘制函数和几何图形.2基基基本本本概概概念念念的的的引引引入入入2.1函函函数数数值值值域域域与与与图图图像像像定定定义义义2.1.1设映射f:X!Y;g:X!Y1,则定义ran(f):=ff(x)jx2Xg;gra(f):=f(x;f(x))jx2Xg;(f;g)(x):=(f(x);g(x)):X!Y×Y1:容易证明gra(f)=ran(iX;f),其中iX表示X上的恒等函数.这就是说，函数的图像和函数值域这两个概念并没有本质的区别.定定定理理理2.1.1设映射ϕ:Y!Z作用于f:X!Y上,则ran(ϕ◦f)=ϕ[ran(f)]:设映射ϕ:X×Y!Z作用于f的图像上,则ϕ[gra(f)]=ran(ϕ◦(iX;f)):1如果ϕ分别独立作用于X;Y上，即ϕ(x;y)=(ϕ1(x);ϕ2(y)),那么ϕ[gra(f)]=f(ϕ1(x);ϕ2(f(x)))jx2Xg:这是一种非常常见的情形，比如伸缩平移.2.2函函函数数数图图图像像像的的的定定定义义义域域域限限限制制制形形形式式式jfj2g先给出一个基本事实：gra(fA)=(x;f(x))xA.我们记graA(f)=gra(fjA).定义域限制在理论上是一个极为简单的概念，而在计算机作图中，定义域的限制会影响函数图像的显示效果，而成为一个不得不认真对待的问题.比如对几个限制在公共区间上的函数求和，就要严格保证区间分点的统一性.当区间延伸时，往往又要保持步长的一致性.还有，分点加密时更要注意分点的间隔和加密比例.这一点在自适应积分计算中很常见.人们往往不会被算法本身难倒，却被计算机苛刻的数据表示束缚，在区间的分点上打圈子.下文会有一个具体的例子来说明这一点.3数数数学学学软软软件件件的的的函函函数数数绘绘绘制制制命命命令令令计算机世界里只能显示一维函数(曲线)和二维函数（曲面）.所有的数学软件（比如MATLAB）基本上都采用形如“plot(x,y)”的语句绘制曲线，而用形如“plot3(x,y,z)”的语句绘制空间曲线或曲面，其中x、y和z在各自的语句中都是等尺寸的向量或矩阵.如果其中的x=[x1;x2;···;xn],y=[y1;y2;···;yn]，那么该语句就命令计算机绘制代表函数的点集f(xi;yi)j1≤i≤ng.如果yi=f(xi),那么该语句绘制的就是函数f限制在fx1;x2;···;xng上的图像.这个点集还可以被看做是函数F:i7!(xi;yi)在f1;2;···;ng上的值域，尤其是当变量没有显示表达时.我们可称F或其值域为（f的）离散图示.总之，我们可以把计算机函数图像绘制归结到函数值域或图像的计算上.此外，fx1;x2;···;xng往往是一个区间的（等）分点，而函数总在整个区间上有定义.这样区间分点的选择就变得很任意;等分点则只与分点数和区间界有关.MATLAB用命令语句"x=linspace(a,b,N+1)"生成区b−a−N+1间[a;b]上N+1个等分点,而x=[N(i1)]i=1.通过自动连线，最后显示出一个在区间上的“连续”函数.不少绘图程序的设计都充分考虑了这个特点.仅仅出于方便，以后用一个统一的伪代码表示函数绘制命令：plot(f).它表示在计算机上绘制函数f:X!Y的值域或者一个Y值矩阵的所有元素.记plot(f;A)=plot(fjA);fplot(f;A)=plot(iA;f).比如，如果我们得fj2g到gra[a;b](f)=(x;f(x))x[a;b],那么绘图语句可以是：fplot(f;[a;b]).4函函函数数数图图图像像像及及及其其其变变变换换换的的的绘绘绘制制制方方方法法法函数经过变换后，如果不利用原来的数据