1．（2012上海市14分）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．【答案】解：（1）∵点O是圆心，OD⊥BC，BC=1，∴BD=BC=。又∵OB=2，∴。（2）存在，DE是不变的。如图，连接AB，则。∵D和E是中点，∴DE=。（3）∵BD=x，∴。∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠AOB=900。∴∠2+∠3=45°。过D作DF⊥OE，垂足为点F。∴DF=OF=。由△BOD∽△EDF，得，即，解得EF=x。∴OE=。∴。2．(2011山东潍坊,23,11分)如图．AB是半圆O的直径．AB=2．射线AM、BN为半圆O的切线．在AM上取一点D．连接BD交半圆于点C．连接AC，过O点作BC的垂线OF．垂足为点E．与BN相交于点F。过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q。(I)求证：△ABC'∽△OFB；(2)当△ABD与△BFO的面积相等时，求BQ的长；(3)求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点。练习1参考答案（1）证明：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC．又∵OE⊥BC，∴OE//AC，∴∠BAC=∠FOB．∵BN是半圆的切线，故∠BCA=∠OBF=90°．∴△ACB∽△OBF．（2）由△ACB∽△OBF，得∠OFB=∠DBA，∠DAB=∠OBF=90°，∴△ABD∽△BFO，当△ABD与△BFO的面积相等时，△ABD≌△BFO．∴AD=BO=AB=1．∵DA⊥AB，∴DA为⊙O的切线．连接OP，∵DP是半圆O的切线，∴DA=DP=1，∴DA=AO=OP=DP=1，∴四边形ADPO为正方形．∴DP//AB，∴四边形DABQ为矩形．∴BQ=AD=1．（3）由（2）知，△ABD∽△BFO，∴，∴．∵DPQ是半圆O的切线，∴AD=DP，QB=QP．过点Q作AM的垂线QK，垂足为K，在Rt△DQK中，，∴，∴，∴BF=2BQ，∴Q为BF的中点．评析：在圆中，遇到圆的切线时，经常要连接切点和圆心，利用圆的切线垂直于经过切点的半径的性质；再遇到过圆外同一点的两条切线时，往往需要利用切线长定理得到相等的线段．2013年中考压轴题复习(三)----圆篇(2)1．（2012浙江义乌10分）在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．【答案】解：（1）∵由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，∴∠CC1B=∠C1CB=45°。∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°。（2）∵由旋转的性质可得：△ABC≌△A1BC1，∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1。∴，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1。∴∠ABA1=∠CBC1。∴△ABA1∽△CBC1。∴。∵S△ABA1=4，∴S△CBC1=。（3）过点B作BD⊥AC，D为垂足，∵△ABC为锐角三角形，∴点D在线段AC上。在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=。①如图1，当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小。最小值为：EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE=﹣2。②如图2，当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大。最大值为：EP1=BC+BE=5+2=7。【考点】旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC1A1的度数。（2）由旋转的性质可得：△ABC≌△A1BC1，易证得△ABA1∽△CBC1，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△CBC1的面积。（3）由①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应