导数与不等式解答题1．(本题满分14分)已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)若恒成立,求实数k的取值范围;（文科(3)证明:.（理科(3)证明:.【解析】(1)的定义域为,,………1分当时,函数的递增区间为,………2分当时，函数的递增区间为,减区间为.………4分(2)由得,………5分令,则………6分当时,函数递增；当时,函数递减。………8分，………10分(3)由(1)可知若，当时有,………11分即有，即,即有(x>1),………12（文）令，则,,………14(理)令，则,,………13分=(n>1)思路分析：（1）先求出函数的定义域，求函数的导数，讨论分别求出函数的单调区间;（2）分离参数求出函数的最大值即可；（3）由（1）得时，，所以时有,即有，可得，令，则，左右分别相加可证出文科的结论；理科令，求和再放缩可得结论。2．（本小题满分16分）已知函数．（1）当时，若函数在上为单调增函数，求的取值范围；（2）当且时，求证：函数f(x)存在唯一零点的充要条件是；（3）设，且，求证：<．【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。利用单调性确定参数的取值范围，和零点的问题，及不等式的证明综合运用。（1）当b=1时，.因为在上为单调递增函数，所有在上恒成立，即在上恒成立，当时，由，得．设，，当且仅当时，等号成立．即时，有最小值2，所以，解得．所有a的取值范围是．…………………………4分（2）．当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．综上所述，的单调递减区间为；的单调递增区间为．=1\*GB3①充分性：时，在处有极小值也是最小值，即．在上有唯一的一个零点．=2\*GB3②必要性：f(x)=0在上有唯一解，且，f(a)=0，即．令，．当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．，只有唯一解．在上有唯一解时必有．综上，在时，在上有唯一解的充要条件是．…………10分（3）不妨设>n>0，则>1，要证<，只需要<，即证>，只需证>0，设，由（1）知，在上是单调增函数，又>1，有>，即>0成立，所以<．………16分3．（理）(14分）设函数，其中（I）当时,判断函数在定义域上的单调性；(II)求函数的极值点；(III)证明对任意的正整数n，不等式都成立.4.已知函数（是自然对数的底数，）.（1）当时，求的单调区间；（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围；（3）证明对一切恒成立.解：（1）当时，，由，……………………………………………..4分所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减。（2），由题意得当时，恒成立。令，有，得，所以的范围是…………………………………………8分（3）令得，，所以在上为减函数，对于任意，都有，故有即即．………12分