山西师范大学学报(自然科学版)研究生论文专刊第23卷2009年12月利用导数解决不等式问题冯丽宁(山西师范大学实验中学,山西临汾041000)摘要:导数在数学各类问题以及各个学科和许多领域中有着非常广泛的应用.导数普遍应用于判断曲线的单调性、凹凸性,求函数的极值、拐点、最值,还可以用来求函数解析式、比较大小、求数列和、求参数取值范围、解决根的分布、处理优化问题、处理函数图像的切线问题等.在处理与不等式有关的综合性问题时往往需要利用函数的性质,因此,很多时侯可以利用导数作为工具得出函数性质,从而解决不等式问题.关键词:导数;不等式;单调性;最值1利用导数证明不等式1.1利用导数得出函数单调性来证明不等式∞)是减函数.1证明设函数f(x)=ln(1+x),则x我们知道函数在某个区间上的导数值大于(或小于)0时,该函数在该区间上单调递增(或递减).因而在证明不等式时,根据不等式的特点,有时可以构造函数,用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的,即把证明不等式转化为证明函数的单调性.具体有如下几种形式:(1)直接构造函数,然后用导数证明该函数的单调性;再(xf′)=-1x2ln(1+x)+1x11+x即1x-ln(1+x)x21+xx(因为x≥2,0<<1,ln(1+x)≥ln3>1,所以f′x)1+x(xf′)=<0,所以f(x)在[2,+∞)是减函数,而m<n,所以f(m)>f(n),即利用函数在它的同一单调递增(减)区间,自变量越大(小),函数值越大(小),来证明不等式成立.例1x>0时,求证:x证明设f(x)=x=x2x2x21mln(1+m)>1nln(1+n)2-ln(1+x)<0.从而(1+m)n>(1+n)m.评注:这类非明显一元函数式的不等式证明问题,首先变换成某一个一元函数式分别在两个不同点处的函数值大小的比较问题,只要将这个函数式找到了,通过设函数,求导判断它的单调性,就可以解决不等式证明问题.这就是“构造函数法”该方法的难点在于找这个一元函数式.通过这类数,学方法的练习,对培养分析问题、解决问题的能力是有很大好处的,这也是进一步学习高等数学所需要的.1.2利用导数求出函数的最值后,再证明不等式2(x-ln(1+x)(x>0),则f′)1+x(x.因为x>0,所以f′)<0,故f(x)在(0,+∞)上x2递减,所以x>0时,f(x)<f(0)=0,即x-ln(1+x)<20成立.(2)把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性,达到证明不等式的目的.例2已知i,m,n是正整数,且1<i≤m<n,证明:(1+mm)>(1+n).n导数的另一个作用是求函数的最值.因而在证明不等式时,根据不等式的特点,有时可以构造函数,用导数求出该函数的最值;由该函数取最大(或最小)值时不等式都成立,可得该不等式恒成立.从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题.分析:要证(1+m)n>(1+n)m成立,只要证ln(1+m)n11>ln(1+n)m,即要证ln(1+m)>ln(1+n)成立.因为mmn<n,所以,设函数f(x)=1xln(1+x),只要证f(x)在[2,+收稿日期:2009212203作者简介:冯丽宁(1971—),男,山西临汾人,山西师范大学实验中学教师,中教一级.冯丽宁:利用导数解决不等式问题例3求证:n∈N,n≥3时,2n>2n+1.证明要证原式,即需证:2n-2n-1>0在n≥3时成立.(设f(x)=2x-2x-1(x≥3),则f′x)=2xln2-2(x≥3(x3),因为x≥3,所以f′)≥2ln2-2>0,所以f(x)在[3,+?5?3利用导数解不等式例6函数f(x)=≤1.1(x解由题知f′)=2(1)因为-1<xx2+1-ax(a>0),解不等式f(x)2x1+x2-a=x1+x2-a.∞)上是增函数,所以f(x)的最小值为f(3)=23-2×3-1=1>0,所以n∈N,n≥3时,f(n)≥f(3)>0,即n≥3时,2-2n-1>0成立.1.3利用导数求出函数的值域后,再证明不等式13例4f(x)=x-x,x1,x2∈[-1,1]时,求证:34f(x1)-f(x2)≤.3((证明因为f′x)=x2-1,故当x∈[-1,1]时,f′x)≤0,所以f(x)在[-1,1]上递减.故f