同济大学《高等数学第五版》上下册习题答案习题1?11.设A?∞,?5∪5,+∞,B[?10,3,写出A∪B,A∩B,A\B及A\A\B的表达式解A∪B?∞,3∪5,+∞,A∩B[?10,?5,A\B?∞,?10∪5,+∞,A\A\B[?10,?5CCC2.设A、B是任意两个集合,证明对偶律:A∩BA∪B证明因为CCCCCx∈A∩B?x?A∩B?x?A或x?B?x∈A或x∈Bx∈A∪B,CCC所以A∩BA∪B3.设映射f:X→Y,A?X,B?X证明1fA∪BfA∪fB;2fA∩B?fA∩fB证明因为y∈fA∪B??x∈A∪B,使fxy?因为x∈A或x∈By∈fA或y∈fB?y∈fA∪fB,所以fA∪BfA∪fB2因为y∈fA∩Bx∈A∩B,使fxy?因为x∈A且x∈By∈fA且y∈fB?y∈fA∩fB,所以fA∩B?fA∩fB4.设映射f:X→Y,若存在一个映射g:Y→X,使gfI,fgI,其中I、I分别是X、XYXYY上的恒等映射,即对于每一个x∈X,有Ixx;对于每一个y∈Y,有Iyy.证明:f是双射,且gXY?1是f的逆映射:gf证明因为对于任意的y∈Y,有xgy∈X,且fxf[gy]Iyy,即Y中任意元素都是X中某y元素的像,所以f为X到Y的满射又因为对于任意的x≠x,必有fx≠fx,否则若fxfx?g[fx]g[fx]xx1212121212因此f既是单射,又是满射,即f是双射对于映射g:Y→X,因为对每个y∈Y,有gyx∈X,且满足fxf[gy]Iyy,按逆映射的y定义,g是f的逆映射5.设映射f:X→Y,A?X证明:?11ffA?A;?12当f是单射时,有ffAA?1?1证明1因为x∈Afxy∈fAfyx∈ffA,?1所以ffA?A12由1知ffA?A1?1另一方面,对于任意的x∈ffA?存在y∈fA,使fyx?fxy因为y∈fA且f是单1?1射,所以x∈A.这就证明了ffA?A.因此ffAA6.求下列函数的自然定义域:1y3x+2;22解由3x+2≥0得x函数的定义域为[?,+∞3312y;21?x2解由1?x≠0得x≠±1函数的定义域为?∞,?1∪?1,1∪1,+∞123y1?x;x2解由x≠0且1?x≥0得函数的定义域D[?1,0∪0,1]14y;24?x2解由4?x0得|x|2函数的定义域为?2,25ysinx;解由x≥0得函数的定义D[0,+∞6ytanx+1;ππx≠kπ+?1解由x+1≠k0,±1,±2,得函数的定义域为k0,±1,±2,227yarcsinx?3;解由|x?3|≤1得函数的定义域D[2,4]18y3?x+arctan;x解由3?x≥0且x≠0得函数的定义域D?∞,0∪0,39ylnx+1;解由x+10得函数的定义域D?1,+∞1x10ye解由x≠0得函数的定义域D?∞,0∪0,+∞7.下列各题中,函数fx和gx是否相同?为什么?21fxlgx,gx2lgx;22fxx,gxx;33433fxxx,gxxx?1224fx1,gxsecx?tanx解1不同因为定义域不同2不同因为对应法则不同,x0时,gx?x3相同因为定义域、对应法则均相相同4不同因为定义域不同π|sinx||x|πππ38.设?x,求?,?,??,??2,并作出函数y?x的图形π644?0|x|≥3ππ1ππ2ππ2解?|sin|,?|sin|,??|sin?|,??206624424429.试证下列函数在指定区间内的单调性:x1y,?∞,1;1?x2yx+lnx,0,+∞证明1对于任意的x,x∈?∞,1,有1?x0,1?x0.因为当xx时,121212xxxx1212yy0,121?x1?x1?x1?x1212x所以函数y在区间?∞,1内是单调增加的1?x2对于任意的x,x∈0,+∞,当xx时,有1212x1yyx+lnx?x+lnxxx+ln0,12112212x2所以函数yx+lnx在区间0,+∞内是单调增加的10.设fx为定义在?l,l内的奇函数,若fx在0,l内单调增加,证明fx在?l,0内也单调增加证明对于?x,x∈?l,0且xx,有?x,?x∈0,l且?x?x12121212因为fx在0,l内单调增加且为奇函数,所以f?xf?x,fx?fx,fxfx,212121这就证明了对于?x,x∈?l,0,有fxfx,所以fx在?l,0内也单调增加121211.设下面所考虑的函数都是定义在对称区间?l,l上的,证明:1两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数;2两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数证明1设Fxfx+gx.如果fx和gx都是