以下三题均为原创：若定义以下概念：①、的近似值为，其中≤x＜，k为自然数；②、的取值精度为；求证：＜设集合A={1、2、3、4......k}（k≥2），定义为集合A中所有含n个元素的子集的所有元素之和；例如，A中含两个元素的子集有{1、2}、{1、3}、{1、4}...{k-1、k}，=（1+2）+（1+3）+（1+4）+...+[（k-1）+k]=，试解答下列问题：①：求出的通项公式②：求和如图，矩形的四条边均与椭圆τ：相切，矩形的面积为S，矩形的周长为C①：求S的取值范围②：证明：C∝S（∝表示正比）③：探究并证明：任意一矩形存在无数个内切椭圆答案：因为而≤x＜，即k≤＜（k+1），由二次函数的性质可知，当取时，最大，所以我们可知≤然而若x可以表示为(n为自然数)时，=0所以我们可知＜=＜=①：由定义我们可知集合A中含有n个元素的子集有个，那么所有这些子集的所有元素有个因为1、2、3、4...k在每个子集中出现的概率相同，顾我们可知个数字中1、2、3...k出现的次数是相同的所以1、2、3...k中的任何一个数字出现的次数都为故我们可知==②：由①我们可知=而，我们两边同时求导得此时我们取x=1，可以得到所以①：A：（斜率存在）设为y=kx+b，联立椭圆τ：得：，由于直线与椭圆相切，Δ=0,解之得b=±，假设为y=kx+，为y=kx-那么同理所以S=×（令，1＜t，0＜＜1）=4（8,10]B：（斜率不存在）易知S=8综上可知：S[8,10]②:设mn=因为C=m+n==所以C∝S③：设椭圆为，直线为y=kx+p，设矩形长为f，宽为g经过联立，并通过Δ=0可以算出f=，g=此时f,g为常量，a、b、k为变量，两个式子，三个变量，所以a、b有无数组解，那么矩形存在无数个内切椭圆。(湖南省湖南大学自动化1班：余永佳)