2009届高考数学压轴题预测专题二数列1.已知函数f(x)=x2+x?1，α,β是方程f(x)＝0的两个根(α>β)，f'(x)是f(x)的导数；设a1=1，an+1=an?f(an)(n＝1，2，……)f'(an)(1)求α,β的值；(2)证明：对任意的正整数n，都有an＞a；(3)记bn=lnan?β(n＝1，2，……)，求数列{bn}的前n项和Sn。an?a解析：(1)∵f(x)=x2+x?1，α,β是方程f(x)＝0的两个根(α>β)，∴α=?1+5?1?5,β=；22115an(2an+1)+(2an+1)?2an+an?144=an?=an?22an+12an+1(2)f'(x)=2x+1，an+15115?15?1∵∴有基本不等式可知a2≥>0(当且仅当a1=＝(2an+1)+4?，a1=1，42an+1222时取等号)，∴a2>5?15?15?1>0同，样a3>，……，an>=α(n＝1，2，……)，222(a?α)(an?β)an?β(3)an+1?β=an?β?n=(an+1+α)，而α+β=?1，即α+1=?β，2an+12an+1(an?β)2(a?α)21?β3+53+5，同理an+1?α=n，bn+1=2bn，b1=ln又=ln=2ln2an+12an+11?α23?53+52an+1?β=Sn=2(2n?1)ln2.（n≥2），数列{bn}的首项b1=a，bn=an+n（n≥2）。2已知数列{an}的首项a1=2a+1（a是常数，且a≠?1）an=2an?1+n2?4n+2，（1）证明：{bn}从第2项起是以2为公比的等比数列；（3）当a>0时，求数列{an}的最小项。（2）设Sn为数列{bn}的前n项和，且{Sn}是等比数列，求实数a的值；分析：第（1）问用定义证明，进一步第（2）问也可以求出，第（3）问由a的不同而要分类讨论。解：（1）∵bn=an+n2222∴bn+1=an+1+(n+1)=2an+(n+1)?4(n+1)+2+(n+1)=2an+2n2=2bn(n≥2)由a1=2a+1得a2=4a，b2=a2+4=4a+4，∵a≠?1，∴b2≠0，即{bn}从第2项起是以2为公比的等比数列。(4a+4)(2n?1?1)=?3a?4+(2a+2)2n2?1Sn(2a+2)2n?3a?43a+4当n≥2时，==2+n?1Sn?1(2a+2)2?3a?4(a+1)2n?1?3a?4（2）Sn=a+∵{Sn}是等比数列,∴Sn(n≥2)是常数，Sn?14。3n?2（3）由（1）知当n≥2时，bn=(4a+4)2=(a+1)2n，∴3a+4=0，即a=?所以an=??2a+1(n=1)n2?(a+1)2?n(n≥2)所以数列{an}为2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，……，显然最小项是前三项中的一项。当a∈(0,)时，最小项为8a-1；141时，最小项为4a或8a-1；411当a∈(,)时，最小项为4a；421当a=时，最小项为4a或2a+1；21当a∈(,+∞)时，最小项为2a+1。2当a=点评：本题考查了用定义证明等比数列，分类讨论的数学思想，有一定的综合性。考点二：求数列的通项与求和3.已知数列{an}中各项为：12、1122、111222、……、11??????122??????2n个n个……（1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.（2）求这个数列前n项之和Sn.分析：先要通过观察，找出所给的一列数的特征，求出数列的通项，进一步再求和。解：（1）an=1n2(10?1)?10n+?(10n?1)99110n?110n?1=(10n?1)?(10n+2)=()?(+1)93310n?1记：A=,3则A=33??????3为整数n∴个an=A(A+1)，得证(2)∵an=12n1n210+10?999112Sn=(102+104+??????+102n)+(10+102+??????10n)?n9991=(102n+2+11?10n+1?198n?210)891点评：本题难点在于求出数列的通项，再将这个通项“分成”两个相邻正数的积，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。4.已知数列{an}满足a1=an?11，an=(n≥2,n∈N)．n4(?1)an?1?2（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；1（Ⅱ）设bn=2，求数列{bn}的前n项和Sn；an(2n?1)π?，数列{cn}的前n项和为Tn．求证：对任意的n∈N，（