ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ中学数学杂志年第期２０１４３过定点的动直线的参数方程及其在焦半径问题中的应用北京丰台二中甘志国１０００７１定义把射线ＯＡ绕端点Ｏ沿逆时针方向旋ｘ２ｙ２ｂ２１－＝ａ＞ｂ＞的通径长均为２抛物线ａ２ｂ２１（０，０）ａ，转到射线ＯＢ时所成的最小非负角记作ＡＯ→Ｂ有∠（０ｙ２＝ｐｘｐ＞的通径长为ｐ．ＡＯ→Ｂ＜．２（０）２≤∠２π）定理设圆锥曲线Γ的一个焦点是Ｆ点Ｐｉｉ如图设动直线ｌ过定点Ｍｘｙ点Ｍｘ３，（１，０（０，０），（，＝ｎｎ在曲线Γ上且ＰＦＰ→＝ｙ是动直线ｌ上的动点．设ｒ＝Ｍ→Ｍ．１，２，…，；≥２），∠１２）０ＰＦＰ→＝＝Ｐｎ－ＦＰ→ｎ＝ＰｎＦＰ→＝２π当Γ是∠２３…∠１∠１ｎ，双曲线时还要求这些点在双曲线Γ的同一支上由，（此可证这些点只能同在焦点Ｆ对应的一支上则：），ｎｎ１＝２其中ｇ是曲线Γ的通径长．ｉ＝ＦＰｉｇ（）∑１年高考重庆卷理科压轴题即第题（２００７（２２）就是定理中曲线Γ是椭圆且ｎ＝的情形．３３）证明定理须用到下面的引理由引理图３，３（１）（１１立得引理由引理可证引理．当点ＭＭ不重合时点Ｍ在以Ｍ为圆心ｒ为２，２３），０，０、ｎθｎ＋θ半径的圆Ｃ上．（１）ｎｓｉｎｓｉｎ设以坐标原点Ｏ为圆心ｒ为半径的圆是Ｃ′把引理ｉθ＝２２、，１ｉ＝ｓｉｎθ，∑１圆Ｃ′按向量ＯＭ→平移后即得圆Ｃ．ｓｉｎ０２ｎθｎ＋θ又设圆Ｃ上的点Ｍ是圆Ｃ′上的点Ｍ′按向量ＯＭ→（１）０ｎｓｉｎｃｏｓ平移后得到的即Ｍ′→Ｍ＝ＯＭ→．由三角函数定义得ｉθ＝２２．见张远达编浅谈０ｉ＝ｃｏｓθ（《，∑１Ｍ′ｒαｒα其中α＝ｘＯＭ→′射线Ｏｘ的方向ｓｉｎ（ｃｏｓ，ｓｉｎ），∠（２高次方程湖北教育出版社第页．是ｘ轴的正方向下同．可得Ｏ→Ｍ＝ＯＭ→＋ＯＭ→′即》（，１９８３）６），）０，ｎｉｎｉｘｙ＝ｘ＋ｒαｙ＋ｒα．引理＝＝ｎ．００２π２π（，）（ｃｏｓ，ｓｉｎ）２ｉ＝ｓｉｎｎｉ＝ｃｏｓｎ０（≥２）由此可得过定点的动直线的参数方程及参数∑１∑１，引理的几何意义３：ｎæｉöｎæｉö定理若动点Ｍｘｙ在过定点Ｍｘｙçα＋２π÷＝çα＋２π÷＝ｎ１（，）０（０，０）（１）ｉ＝ｓｉｎèｎøｉ＝ｃｏｓèｎø０（ｘ＝ｘ＋ｒα∑１∑１的动直线上则可设０ｃｏｓ其中ｒ＝{≥２）；，ｙ＝ｙ＋ｒα，ｎｎ０ｓｉｎæｉöæｉöｎ２çα＋π÷＝２çα＋π÷＝ｎＭ→Ｍ当ｒ＞时α＝ＴＭ→Ｍ射线ＭＴ与ｘ轴（２）ｉ＝ｓｉｎèｎøｉ＝ｃｏｓèｎø（０，０，∠０（０∑１∑１２的正半轴同向．．）≥２）定义过圆锥曲线Γ的任一焦点Ｆ作曲线Γ定理的证明设ｘＦ→Ｐ＝α．不失一般性可２３∠ｉｉ，的过点Ｆ的对称轴的垂线交Γ于点ＡＡ把线段ｉ１，２，设α＜２π得αｉ＝α－２π＋２π．ＡＡ叫做圆锥曲线Γ的通径．０≤１ｎ，１ｎｎ１２ｘ２ｙ２ｘ２定理椭圆＋＝ａ＞ｂ＞及双曲线下面只证Γ是双曲线的情形．可不妨设Γ－２ａ２ｂ２１（０）：ａ２３４中学数学杂志年第期ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ２０１４３ｎｎｙ２＝ａ＞ｂ＞还可不妨设Ｆ是其右焦点ｃ上则１＝定值ｇｎ１＝ｂ２１（０，０），（，），ｉ＝ＰｉＰｎ＋ｉ，ｉ＝ＦＰｉＦＰｎ＋ｉ∑１∑１·ｇｎｃ＝ａ２＋ｂ２．点Ｐｉｉ＝ｎ不可能均在定值４其中ｇ是曲线Γ的通径长具体的情形０）（）（１，２，…，）ｇ（），左支上否则ＰｎＦＰ→＞又由题设得ＰｎＦＰ→＝：∠１π，∠１是：２π所以２π＞ｎ＜这与题设ｎ矛盾得ｘ２ｙ２ｎ，ｎπ，２，“≥２”！当曲线Γ是椭圆＋＝ａ＞ｂ＞ｃ（１）ａ２ｂ２１（０，点Ｐｉ＝ｎ同在双曲线Γ的右支上．ｉ（１，２，…，）ｘ２ｙ２＝２－２或双曲线－＝＝由定理知点Ｐｉ＝ｎ的横坐标是ｃａｂａ＞ｂ＞ｃ１，ｉ（１，２，…，））ａ２ｂ２１（０，０，ｎ＋ＦＰｉαｉ再由焦半径公式及引理得ｎａ２－ｃ２ｃｏｓ，３（１），ａ２＋ｂ２时１＝（２）ｃ），ｉ＝ＰｉＰｎ＋ｉａｂ２，１ＦＰｉ＝ｃ＋ＦＰｉαｉ－ａ１＝∑４ｎａ（ｃｏｓ），ＦＰｉｎａ２－ｃ２ｎ１＝（２）ａ－ｃαｉｎｉ＝ＦＰｉＦＰｎ＋ｉｂ４；ｃｏｓ１＝＝２∑１·２ｂ２，ｉ＝ＦＰｉ…ｇ当曲线Γ是抛物线ｙ２＝ｐｘｐ＞时∑１（２）２（０），定理过圆锥曲线Γ的任一焦点Ｆ作弦ｎｎｎｎ４（１）１＝１＝．ＡＡ当Γ是双曲线时点ＡＡ要求在该双曲线的ｉ＝ＰｉＰｎ＋ｉｐ，ｉ＝ＦＰｉＦＰｎ＋ｉｐ２１２（，１，２∑１４∑１·２ｎ同一支上则１＋１＝４其中ｇ是圆锥曲证明先证若１＝定值ｇｎ则），ＦＡＦＡｇ（：ｉ＝ＰｉＰｎ＋ｉ，１２∑１ｎ线Γ的通径长ｇｎ）；１＝定值４其中ｇ是曲线Γ的