有限差分法的一个算例——计算流体力学大作业作者：郝柏函2010011545指导：李嵩题目编程计算热传导方程,边界条件：初始条件：用FTCS格式分别在满足和不满足稳定性条件两种情况下计算，给出结果比较和分析。（2）自选一种其他格式编程计算，并给出结果和分析注：原题中给出的初始条件与边界条件是矛盾的，所以将其改为MACROBUTTONMTEditEquationSection2EquationSection(Next)SEQMTEqn\r\h\*MERGEFORMATSEQMTSec\h\*MERGEFORMATFTCS格式计算方法差分格式及其相容性对于方程，采用FTCS差分格式，即MACROBUTTONMTPlaceRef\*MERGEFORMATSEQMTEqn\h\*MERGEFORMAT(SEQMTSec\c\*Arabic\*MERGEFORMAT1.SEQMTEqn\c\*Arabic\*MERGEFORMAT1)其中，。以下讨论这一格式的相容性。所以因此，该格式与原微分方程是相容的，而且对于时间精度是一阶的，对于空间，精度是二阶的。稳定性与收敛性对于适定的线性微分方程，格式如果差分格式，那么稳定和收敛是等价的。所以只需要讨论稳定性就可以了。设则GOTOBUTTONZEqnNum641444\*MERGEFORMATREFZEqnNum641444\*Charformat\!\*MERGEFORMAT(1.1)式可写为即放大因子所以为保证,应有MACROBUTTONMTPlaceRef\*MERGEFORMATSEQMTEqn\h\*MERGEFORMAT(SEQMTSec\c\*Arabic\*MERGEFORMAT1.SEQMTEqn\c\*Arabic\*MERGEFORMAT2)只要满足GOTOBUTTONZEqnNum292638\*MERGEFORMATREFZEqnNum292638\*Charformat\!\*MERGEFORMAT(1.2)式，差分格式就是稳定的。初始、边界条件处理以及全部计算过程初始条件，差分格式为MACROBUTTONMTPlaceRef\*MERGEFORMATSEQMTEqn\h\*MERGEFORMAT(SEQMTSec\c\*Arabic\*MERGEFORMAT1.SEQMTEqn\c\*Arabic\*MERGEFORMAT3)边界条件，为了保证空间的二阶精度，采用二次多项式来构造差分格式，结果为，其中是方向上位置的格点数。给出了初始、边界条件，以及之前的差分格式，就可以给出完整地算法：（1）首先用GOTOBUTTONZEqnNum224877\*MERGEFORMATREFZEqnNum224877\*Charformat\!\*MERGEFORMAT(1.3)式计算出第一个时层的温度；（2）然后使用GOTOBUTTONZEqnNum641444\*MERGEFORMATREFZEqnNum641444\*Charformat\!\*MERGEFORMAT(1.1)式就算出下一时层的温度值，但是，此时还没有就算出，然后利用边界条件求出（3）不断使用第（2）步，直至计算出所要求时层所对应的温度值注：为了保证计算效率，不应过小。如果要求计算结果是稳定的，应满足GOTOBUTTONZEqnNum292638\*MERGEFORMATREFZEqnNum292638\*Charformat\!\*MERGEFORMAT(1.2)式，如果要求不稳定，应不满足GOTOBUTTONZEqnNum292638\*MERGEFORMATREFZEqnNum292638\*Charformat\!\*MERGEFORMAT(1.2)式。计算结果与分析本文采用matlab编程，程序见于第REF_Ref377047466\r\h\*MERGEFORMAT4小节。在不稳定的差分格式下，计算结果是不可采信的，如REF_Ref377052026\h图1所示。图SEQ图\*ARABIC1不稳定格式计算得到温度分布，s=1.04,其中，时间采用2400步，空间采用100步采用不稳定格式虽然也能得到比较光滑的温度分布图，但是，根据本算例的物理意义，左端为恒定温度0，右端为绝热壁面，所以计算结果应该是，温度始终大于0，别且距左端越近，温度越低。可见，非稳定格式的计算结果是定性错误的。而稳定格式的计算结果是可以采信的。