§1、n阶行列式的定义(1)一个排列中所有逆序的总和称为此排列的逆序数，记为t；(2)逆序数为奇(偶)数的排列称为奇(偶)排列。参考题1、求下列排列的逆序数(1)312;(2)134782695;(3);(4)解：(1)t=2;(2)t=1+1+3+3+1+1=10;(3);(4)t=0。2、对换将一个排列中的两个数位置对调称为对换。定理1：对换改变排列的奇偶性。定理2：在所有n阶排列中，奇偶排列各半，各为个。证:设奇偶排列分别为p,q个,则p+q=n!。全部排列全部排列，故p=q=n!/2。3、二阶与三阶行列式引例：解二元线性方程组解：用消元法易得称为二阶行列式。若记则方程组的解可记为称为三阶行列式。例1.1解线性方程组：解：由于系数行列式，根据对角线法则所以例1.2计算三阶行列式。解：由对角线法则D=1×(−1)×(−2)+0×1×0+2×1×1−0×(−1)×1−1×1×1−2×0×(−2)=3。例1.3求排列54312的逆序数，并指出该排列的逆序数。解：首位数5，其逆序数为0；4的前面且比4大的数有一个，其逆序数为1；3的前面有两个数5和4，且都比3大，其逆序数为2；1的前面有三个数，5，4和3，且都比1大，其逆序数为3；2的前面有四个数，5，4，3和1，比2大的数有3个，其逆序数为3，于是这个排列54312的逆序数为t=0+1+2+3+3=9，为奇排列。4、n阶行列式的定义称为n阶行列式。(1)n!项之和，正负各半；(2)每项为不同行不同列的n个元素之积，其符号为，t为排列的逆序数。故n阶行列式的定义为例1.4证明n阶行列式其中未写出的数都是零。这类行列式叫做下三角行列式，其特征是主对角线以上的数全取零，它的值等于主对角线上所有数的积。证明：根据n阶行列式定义由于在上三角行列式中，对任意j>i恒有aij=0，故D的计算式中各项的乘积因子，只有当其下标满足Pi≤i时，该因子才有可能不为零。由Pi≤i(i=1，2，…，n)可得P1≤1，P2≤2，…，Pn≤n。在所有排列P1P2…Pn中，能满足上述关系的排列只有一个标准次序排列123…n，此时D中可能不为零的项只有一项，该项的符号(−1)t=(−1)0=1，因此D=a11a22…ann5、几种常用的特殊行列式(1)上三角行列式解：观察通项知，要想使之不为零，必须，同理，而为偶排列，故。(2)下三角行列式(3)对角行列式(4)反对角行列式解：对，必须，而，故得证。§2、行列式的性质例如，切记：性质4：若两行(列)成比例，则行列式为零。证：性质5：把某一行(列)各元素乘上同一数后加到另一行(列)对应元素，行列式不变。性质6：性质7:若A,B均为n阶方阵，则注：计算行列式最常用的两种方法之一是利用行列式的性质将其化为上三角。参考题2、计算(1)(2)解：(1)(2)例1.5计算三阶行列式解：=6×1×1×3=18。例1.6计算n阶行列式解：第2列所有元素都是2，其余各列均只有一个元素不是2。考虑将第1，3，4，…，n各列都加上第2列元素的(−2)倍，由性质4得例1.7计算n阶行列式解：首先注意到，该行列式每行元素之和都是，因此，将行列式每一列元素都加到第一列，并提取公因式，得例1.8计算行列式解：注意到行列式每行元素之和都是因此，将行列式每一列元素都加到第一列，并提取公因式，得§3、行列式按行（列）展开代数余子式。2、行列式的展开法则定理3：行列式等于它的某一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即推论:行列式中某一行(列)的各元素与另一行(列)对应元素代数余子式的乘积之和为零，即。综合定理和推论可得：例如，注：计算行列式最常用的两种方法之二是利用展开法则将行列式展开。参考题3、计算行列式解：参考题4、证明范德蒙行列式例1.9设有四阶行列式，求D的第4行元素各余子式之和的值。解法一：计算4个余子式(均为三阶行列式)M41，M42，M43，M44。M41+M42+M43+M44解法二：将D的前3行元素保持不变，第4行元素换成−1，1，−1，1，得到行列式D1：将D1按第3行展开，由于其第3行只有一个非零元素−7，则例1.10计算行列式解：例1.11计算n阶行列式解：将D按第1列展开，得D=aA11+bAn1，其中§4、克莱姆法则例如，，。定理4：对任意方阵A，证：，同理，即。定义：对方阵A，当时，称之为奇异阵，时，称之为非奇异阵。定理