第四章系统分析曹庆仁中国矿业大学管理学院本章主要内容第一节：相关分析与回归分析第二节：主成分分析第三节：系统聚类分析第四节：模糊聚类分析第四节模糊聚类分析一、模糊集及模糊关系1、模糊问题的提出在自然科学或社会科学研究中,存在着许多定义不很严格或者说具有模糊性的概念。这里所谓的模糊性，主要是指客观事物的差异在中间过渡中的不分明性，如某一生态条件对某种害虫、某种作物的存活或适应性可以评价为“有利、比较有利、不那么有利、不利”；灾害性霜冻气候对农业产量的影响程度为“较重、严重、很严重”，等等。这些通常是本来就属于模糊的概念，为处理分析这些“模糊”概念的数据，便产生了模糊集合论。根据集合论的要求，一个对象对应于一个集合，要么属于，要么不属于，二者必居其一，且仅居其一。这样的集合论本身并无法处理具体的模糊概念。为处理这些模糊概念而进行的种种努力，催生了模糊数学。模糊数学的理论基础是模糊集。模糊集的理论是1965年美国自动控制专家查德(L.A.Zadeh)教授首先提出来的，近10多年来发展很快。模糊集合论的提出虽然较晚，但目前在各个领域的应用十分广泛。2、模糊集的概念对于一个普通的集合A，空间中任一元素x，要么x?A，要么x?A，二者必居其一。这一特征可用一个函数表示为：A(x)即为集合A的特征函数。将特征函数推广到模糊集，在普通集合中只取0、1两值推广到模糊集中为[0,1]区间。简单地可表达为：设U是论域，称映射A(x)：U→[0,1]确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的隶属函数，它表示x对A的隶属程度.使A(x)=0.5的点x称为A的过渡点，此点最具模糊性.当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子集，而A(x)就是它的特征函数.可见经典子集就是模糊子集的特殊情形.例：设论域U={x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)}(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为当然也可以定义为：上述两种定义也可分别用Zadeh表示法表达：上式表示一个有n个元素的模糊子集。“+”叫做查德记号，不是求和。模糊集的运算模糊集的运算性质基本上与经典集合一致，除了排中律以外，即A∪Ac?U，A∩Ac??.模糊集不再具有“非此即彼”的特点，这正是模糊性带来的本质特征.例：设论域U={x1,x2,x3,x4,x5}(商品集)，在U上定义两个模糊集：A=“商品质量好”，B=“商品质量坏”，并设A=(0.8,0.55,0,0.3,1).B=(0.1,0.21,0.86,0.6,0).则Ac=“商品质量不好”,Bc=“商品质量不坏”.Ac=(0.2,0.45,1,0.7,0).Bc=(0.9,0.79,0.14,0.4,1).可见Ac?B,Bc?A.又A∪Ac=(0.8,0.55,1,0.7,1)?U,A∩Ac=(0.2,0.45,0,0.3,0)??.3、截集定义2:若A为X上的任一模糊集，对任意0???1，记A?=｛x｜x?X,A(x)??｝,称A?为A的?截集。(A)?=A?={x|A(x)≥?}A?是普通集合而不是模糊集。由于模糊集的边界是模糊的,如果要把模糊概念转化为数学语言，需要选取不同的置信水平?(0???1)来确定其隶属关系。?截集就是将模糊集转化为普通集的方法。模糊集A是一个具有游移边界的集合，它随?值的变小而增大，即当?1<?2时，有A?1∩A?2。模糊集的?-截集A?是一个经典集合，由隶属度不小于?的成员构成.例：论域U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}(学生集)，他们的成绩依次为50,60,70,80,90,95，A=“学习成绩好的学生”的隶属度分别为0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.95，则A0.9(90分以上者)={u5,u6},A0.6(60分以上者)={u2,u3,u4,u5,u6}.定理：设A,B?&(U)(A,B是论域U的两个模糊子集)，?,??[0,1]，于是有?-截集的性质：(1)A?B?A??B?；(2)?≤??A??A?；(3)(A∪B)?=A?∪B?，(A∩B)?=A?∩B?.4、隶属函数的确定1.模糊统计方法与概率统计类似，但有区别：若把概率统计比喻为“变动的点”是否落在“不动的圈”内，则把模糊统计比喻为“变动的圈”是否盖住“不动的点”.2.指派方法一种主观方法，一般给出隶属函数的解析表达式。3.借用已有的“客观”尺度5、模糊关系与模糊矩阵1）模糊关系的定义定义:设X、Y是两个非空集合，则直积X×Y={(x,y)|x?X，y?Y}为论域中的