基于压缩感知的信号处理1、背景另一方面，随着现代信息技术的高速发展和人们对信息数据量的需求的不断增加，对传统的信号处理框架要求的采样和处理速度都提出了更高的要求，于是给出一个新问题：能否建立一个新的信号处理框架，在保证信息没有损失的同时，用远低于奈奎斯特采样定理所要求的采样频率对信号进行采样，并且能够精确的恢复信号？在2004年，D.Donoho和E.Candès、J.Romberg、T.Tao针对稀疏性信号，在信号逼近和稀疏分解等理论的基础上建立了压缩感知（CompressiveSensingorCompressiveSampling,CS）理论框架，该理论在随后的几年间迅速发展，从而为解决上述问题奠定了坚实的理论基础。压缩感知理论指出，如果某个集合中只有少量的非零元素，就称这个集合具有稀疏性，如果一个自然信号在某个变换基上的分解表示结果呈现出稀疏性，我们就称这一信号具有稀疏性。只要信号在某个特定的变换域内具有稀疏性，那么就可以通过一个与变换基不相干的观测矩阵将信号投影到低维空间中，然后通过对这个优化问题的求解就可以高精度重构出原始信号。2、压缩感知的一般流程3、观测和重建的简单数学推导但如果信号在变换域中稀疏，即只有K（K<M)个系数不为零，就可以从M个方程中解出K个不为零的系数，也就是解出了A，对其做逆变换就能重建原信号X。Donoho提供了两个较为可行的最优化求解的方案：•匹配追踪：找到一个其标记看上去与收集到的数据相关的小波；在数据中去除这个标记的所有印迹；不断重复直到我们能用小波标记“解释”收集到的所有数据。•基追踪（又名L1模最小化）：在所有与录得数据匹配的小波组合中，找到一个“最稀疏的”，也就是其中所有系数的绝对值总和越小越好。（这种最小化的结果趋向于迫使绝大多数系数都消失了。）这种最小化算法可以利用单纯形法之类的凸规划算法，在合理的时间内计算出来。谢谢！