这部分能量到哪里去了？浙江省奉化中学张贤祺315500通过高中物理竞赛辅导，学生知道了电容为C的电容器充电到两极板间的电压为U时所贮藏的电能为：。课后学生提出了这样一个问题：如图1所示电路，合上开关S，一个电动势为ε、内电阻可以忽略不计的电源，对一个电容为C的电容器充电，充电完毕后，电容器所贮藏的电能应该为：，然而，电源在对电容器充电过程中，是在恒定的输出电压ε下输送了Q＝Cε的电量，所消耗的电能应该是：。为什么电容器贮藏的电能只有电源消耗电能的一半？另外一半电能到哪里去了？对此问题，笔者查阅了很多资料，也得不到一个定量的答案。大多是一个定性的解释：任意闭合电路都有电阻R和电感L，当电流通过电阻R和电感L上时，会有部分电能转化为内能和磁场能。所以，电容器上得到的电能要比电源消耗的电能少一些。笔者觉得这样的答案不够圆满。下面分几种情况来剖析这个问题（1）RC电路充电：任何实际电路中所有导线均有电阻R；任何闭合电路均有电感L。此处设电感L小得可以忽略不计，即L＝0，电路如图2所示，整个电路的等效电阻为R。充电过程中有：uR+uC=ε而uR＝iR，i＝，代入上式得：。分离积分变量得：，两边积分得：，当t=0时，uC=0。得k=－lnε，整理得：电容器两极间的电压uC、电阻两端的电压uR、回路中的电流i的变化规律分别如下：；；在整个充电过程中，电阻R上消耗电能产生热量Q＝。可见，在RC电路中，整个充电过程，电源消耗总能量一半储存在电容器中，另一半在电阻R上产生焦耳热。（2）LC电路充电：假设整个闭合电路的直流电阻R＝0，电感为L。电路如图4所示。则充电时。uL+uC=ε由于，两边对时间取微分得：整理得：。解微分方程得：，再考虑初始条件：t=0时，i=0，uC=0，即，得：；I0=。所以回路中的电流表达式为：。如图5所示电容器上电量随时间的变化规律为：如图6所示。由上述两表达式可以看出：时，；，容易看出0→T/4充电过程中，电源放出的总能量为：；电容器上储存的电场能为：；电感上储存的磁场能为：当t=t/2时，i=0；qm=2cε。从0→T/2的充电过程中，电源放出的总能量为：；电容器上储存的电场能为：；电感上储存的磁场能为：，其实是在T/4→T/2过程中，原来储存在电感线圈中的磁场能，随着电流的减小而转化为电容器上的电场能。可见，在LC电路充电过程中，在0→T/4时间内，的一半Cε2/2储存在电容器中，另一半Cε2/2以磁场能形式储存于电感线圈中，在T/4→T/2的时间中，电源继续消耗电能Cε2；原来储存在电感线圈中的能量Cε2/2也转化为电容器上的电能，所以电容器上的电能达到：2Cε2。在整个充电过程中，仍然遵守能量转化及守恒定律。（3）RLC电路：电路中既有耗能元件电阻R，又有储能元件电感L、电容C。电路如图7所示。在充电过程中，电流的变化规律可以从微分方程：求得：（求解过程略）电容器上的电量变化规律：由于方程比较复杂，具体要分三种情况讨论：（1）当时，电流不能形成振荡。此种情况称为“过阻尼”（2）当时，电流仍然不能形成振荡。此种情况称为“临界阻尼”（3）当时，电流作周期性变化。但振幅随时间而减小，产生“阻尼振荡”，振荡圆频率ω＝。振幅衰减速度情况由：决定。上述三种情况下，电流的变化规律用图象表示，如图8所示：图中①、②、③三条图线分别对应于上述（1）、（2）、（3）三种情况。从能量角度来看，电源消耗的电能一部分在电阻R上产生热量，这是导致振幅越来越小的原因，另一部分储存在电容器中或电感线圈中，并在电场能与磁场能之间发生相互转化，能量在转化过程中仍然守恒。此处不再定量证明。读者可以参看有关书籍自行证明。2002.05.30