计算机图形学与数字地图第5章二维图形变换与裁剪5.1二维图形变换在计算机绘图应用中，经常要实现从一个几何图形到另一个几何图形的变换。例如，将图沿某一方向平移一段距离；将图形旋转一定的角度；或将图形放大；反之把图形缩小等等。这些图形变换的效果虽然各不相同，本质上却都是依照一定的规则，将一个几何图形的点都变为另一个几何图形的确定的点，这种变换过程称为几何变换。二维平面图形的几何变换是指在不改变图形连线次序的情况下，对一个平面点集进行的线性变换。二维图形变换二维图形顶点的变换平面上有一直线段AB，将它分别沿X方向，Y方向平行移l个单位后，得到直线段A’B’，假设AB两端点坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），如下图所示，我们来验证，只要对AB的两端点进行同样的平移变换，就可得到变换后的直线A'B'。对AB的两端点（x1，y1）（x2，y2）进行平移，得：在原直线段AB上任取一点（x*，y*）,显然满足直线段AB的方程：结论：对直线段进行平移变换只要其端点进行同样的变换。用同样的方法，可进一步证明：对直线段进行比例旋转、反射、错切等其它几何变换也只要对该直线段的端点进行同样的变换。当对组成图形的所有直线段作同一几何变换后，对这一幅图形便作了相同的几何变换，所以，对图形进行几何变换只要对其所有直线段进行同样的几何变换，而对直线段的几何变换又归结为对端点的几何变换，因此，我们说，对图形作几何变换，其实质是对点的几何变换。l）平移变换平面上一点P（x，y），如果在X轴方向的平移增量为tx，在Y轴方向平移增量为ty时，则平移后所得新点P'(x'，y')坐标表达式为：x'=x+tx，y'=y+ty我们把这一变换称为平移变换。2）比例变换一个图形中的坐标点（x，y），若在X轴方向有一个比例系数Sx，在Y轴方向有一个比例系数Sy，则该图形的新坐标点（x'，y'）的表达式为x'=xSxy'=ySy；这一变换称为比例变换。比例变换不仅改变图形的位置，而且改变图形的大小(1)当时，为恒等比例变换，即图不变；(2)当时，图形沿两坐标轴方向等比例缩小；(3)当时，图形沿两个坐标轴方向等比例放大；(4)当时，图形沿两个坐标轴方向作非均匀的比例变化。3）旋转变换若图形中的坐标点（x，y）绕坐标原点逆时针旋转一个角度θ,则可得到图中所示的(x’,y’),该变换被称为旋转变换。4）对称变换如果经过变换后所得到的图形与变换前的图形关于X坐标轴是对称的，则称此变换为关于X轴的对称变换。经过这一变换后的坐标点（x'，y'）与变换前的对应坐标点（x，y）的关系为：x'=x，y'=-yY轴的对称变换：x'=-x，y'=y中心对称变换：x'=-x，y'=-y5）错切变换如果变换前坐标点（x，y）与变换后对应的新坐标点（x'，y'）的关系为：x'=x+cy，y'=y我们称这一变换为沿X轴的错切变换，式中c为错切系数。若变换前后对应点的坐标关系为：x'=x，y'=y+bx则称此变换为沿Y轴的错切变换，其中b为错切系数。平移、比例、旋转、对称和错切变换统称为基本的图形变换，绝大部分复杂的图形变换都可以通过这些基本交换的适当组合来实现。任何一个复杂图形都是由任意多个有序点集连线而成。在解析几何学中。在二维空间内，平面上的点可以用一行两列矩阵［xy］或两行一列矩阵来表示。由此，一个由n个点的坐标组成的复杂图形可以用n×2阶矩阵表示：由此可知，图形的变换可用矩阵运算来实现。具体说就是由构成图形的点集的矩阵与T=矩阵乘法运算，即我们称T=为二维图形变换矩阵，其中点集中任意一点（x，y）变换后坐标为：1）比例变换若令变换矩阵则写成矩阵形式为：②若取a=1，d=0，图形沿Y方向压缩成线段，如下图所示当a=1，d=1变换后图形没有变化，称这种变换矩阵为恒等矩阵。③若取a=d=1.5对下图中（a）矩阵1234做变换，则各点在X，Y两个方向产生相等的比例变换，即变换后图形和变换前图形相似，相似中心为坐标原点。若a≠d时，使图形在X和Y两个方向产生不相等比例变换。下图(b)是a=2,d=1.5时对(a)中矩阵1234变换结果。图(c)是取a=2,d=0.5对矩阵1234变换结果，变换后图形在X方向放大，在Y方向缩小。2）对称变换当a=1，d=–1时，图形对X轴对称即3）错切变换当变换矩阵中的a=d=1，b与c中一个为零，另一个为正数或负数时，即，它对图形的作用是使图形产生沿一个坐标方向错切。例如：由下图可见，图形沿+Y方向错切，这是对在第一象限内的点而言。当时，它使第一象限内图形沿+X方向错切4）旋转变换