第31讲图形变换内容概述本讲将涉及到图形的对称、平移、旋转、割补及其他等积变换,下面我们就汶些变换的预备知识及变换本身进行学习和探讨．1.三角形ABC与,如果它们的对应边成比例,即,我们就称它们相似，记作△ABC～△.这个比值K叫做两个三角形的相似系数(注意三角形的先后顺序),如果相似系数为1，就称这两个三角形全等,记作△ABC≌△.如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等,那么这两个三角形相似；如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似；如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似．(以上3条判定定理中,如果含有边的比例的关系,而其中的比例系数为l,则这两个三角形全等．)2.两条直线平行,则：反之,如果知道上面某种情况的成立,则那两条直线平行．3.两个相似三角形的面积比值为相似系数的平方．典型问题2.四边形ABCD中,AB=30,AD=48,BC=14,CD=40.又已知∠ABD+∠BDC=900,求四边形ABCD的面积．【分析与解】如下图,以BD的垂直平分线为对称轴L,做△ABD关于L的对称图形△BD.连接C．因为∠ABD+∠BDC=9000而∠ABD=∠DB=900,所以有∠DB+∠BDC=900．那么CD为直角三角形,由勾股定理知=2500,所以.而在△BC中,有B=AD=48,有482+142=2500,即B2+BC2=C2,即△BC为直角三角形．有.而|.评注:Ⅰ.本题以∠ABC+∠BDC=900突破口,通过对称变换构造出与原图形相关的角三角形.这样面积就很好解决了．Ⅱ.对于这道题我们还可以将△BCD作L的对称图形.如下：4.如图,在三角形ABD中,当AB和CD的长度相等时,请求出“?”所示的角是多少度,给出过程．【分析与解】因为AB=CD,于是可以将三角形ABC的边BA边与CD对齐,如下图．在下图中有∠BCA=1100,所以∠ACD=700于是∠=∠+∠=∠+∠=700+400=1100；即∠=1100=∠；又因为只是移动的变化,所以=；则是一等腰梯形．于是,∠=1800-1100=700；又∠=300,所以∠=700-300=400.6.如下图,△ABC是边长为1的等边三角形,△BCD是等腰三角形BD=CD，顶角∠BDC=1200,∠MDN=600,求△AMN的周长．【分析与解】如下图,延长AC至P,使CP=MB,连接DP.则有∠MBD=600+∠PCD；CP=BM；BD=CD,所以有△MBD≌△PCD.于是∠MDC=∠PDC；又因为∠MDB+∠NDC=600,所以∠PDC+∠NDC=∠NDP=600；MD=PD在△MDN、△PND中,∠NDM=∠NDP,ND=ND,MD=PD,于是△MND≌△PND.有MN=PN．因为NP=NP=NC+CP,而AM=AB-MB=AB-CP,所以AM+AN+MN=(AB-CP)+AN+(NC+CP)=AB+AN+NC=2.即△AMN的周长为2.8.下图为半径20厘米、圆心角为1440的扇形图.点C、D、E、F、G、H、J是将扇形的B、K弧线分为8等份的点.求阴影部分面积之和．【分析与解】如下图,做出辅助线△KMA与△ANG形状相同(对应角相等),大小相等(对应边相等),有△KMA≌△ANG,,而△LMA是两个三角形的公共部分,所以上图中的阴影部分面积相等．所以,GNMK与扇形KGA的面积相等,那么KGEB的面积为2倍扇形KGA的面积．扇形KGA的圆心角为×3=540,所以扇形面积为平方厘米．那么KGEB的面积为60=120平方厘米．如下图,做出另一组辅助线．△JQA与△ARH形状相同(对应角相等),大小相等(对应边相等),有△JQA≌△ARH,=5△A,而△PQA是两个三角形的公共部分,所以右图中的阴影部分面积相等．所以,JHRQ与扇形JHA的面积相等,那么JHDC的面积为2倍扇形JHA的面积．扇形JHA的圆心角为,所以扇形面积为平方厘米．那么JHDC的面积为平方厘米．所以,原题图中阴影部分面积为≈80×3.14=251.2平方厘米．