课时跟踪检测(二十八)数系的扩充与复数的引入第Ⅰ组：全员必做题1．已知a是实数，eq\f(a＋i,1－i)是纯虚数，则a等于()A．－1B．1C.eq\r(2)D．－eq\r(2)2．(2013·郑州质量预测)若复数z＝2－i，则eq\o(z,\s\up6(－))＋eq\f(10,z)＝()A．2－iB．2＋iC．4＋2iD．6＋3i3．(2014·萍乡模拟)复数eq\f(1＋2i2＋i,1－i2)等于()A.eq\f(5,2)B．－eq\f(5,2)C.eq\f(5,2)iD．－eq\f(5,2)i4．(2014·长沙模拟)已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(i，i2，\f(1,i)，\f(1＋i2,i)))，i是虚数单位，Z为整数集，则集合Z∩M中的元素个数是()A．3个B．2个C．1个D．0个5．(2013·陕西高考)设z是复数，则下列命题中的假命题是()A．若z2≥0，则z是实数B．若z2＜0，则z是虚数C．若z是虚数，则z2≥0D．若z是纯虚数，则z2＜06．(2013·重庆高考)已知复数z＝eq\f(5i,1＋2i)(i是虚数单位)，则|z|＝________.7．若eq\f(3＋bi,1－i)＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝________.8．已知复数z＝1－i，则eq\f(z2－2z,z－1)＝________.9．计算：(1)eq\f(－1＋i2＋i,i3)；(2)eq\f(1＋2i2＋31－i,2＋i)；(3)eq\f(1－i,1＋i2)＋eq\f(1＋i,1－i2)；(4)eq\f(1－\r(3)i,\r(3)＋i2).10．已知z是复数，z＋2i，eq\f(z,2－i)均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．第Ⅱ组：重点选做题1．定义：若z2＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则称复数z是复数a＋bi的平方根．根据定义，则复数－3＋4i的平方根是()A．1－2i或－1＋2iB．1＋2i或－1－2iC．－7－24iD．7＋24i2．已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝eq\r(3)，则eq\f(y,x)的最大值为________．答案第Ⅰ组：全员必做题1．选Beq\f(a＋i,1－i)＝eq\f(a＋i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(a－1＋a＋1i,2)，当eq\f(a＋i,1－i)为纯虚数时，eq\f(a－1,2)＝0，即a＝1.2．选D∵z＝2－i，∴eq\o(z,\s\up6(－))＋eq\f(10,z)＝(2＋i)＋eq\f(10,2－i)＝(2＋i)＋eq\f(102＋i,2－i2＋i)＝6＋3i.3．选Beq\f(1＋2i2＋i,1－i2)＝eq\f(2＋4i＋i＋2i2,－2i)＝eq\f(5i,－2i)＝－eq\f(5,2).4．选B由已知得M＝{i，－1，－i,2}，Z为整数集，∴Z∩M＝{－1,2}，即集合Z∩M中有2个元素．5．选C实数可以比较大小，而虚数不能比较大小，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由z2≥0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝0，,a2－b2≥0，))则b＝0，或a，b都为0，即z为实数，故选项A为真，同理选项B为真；而选项C为假，选项D为真．6．解析：eq\f(5i,1＋2i)＝eq\f(5i1－2i,1＋2i1－2i)＝2＋i，所以|z|＝eq\r(5).答案：eq\r(5)7．解析：由eq\f(3＋bi,1－i)＝eq\f(3＋bi1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(3－b＋3＋bi,2)＝a＋bi，得a＝eq\f(3－b,2)，b＝eq\f(3＋b,2)，解得b＝3，a＝0，所以a＋b＝3.答案：38．解析：eq\f(z2－2z,z－1)＝eq\f(z－12－1,z－1)＝z－1－eq\f(1,z－1)＝(－i)－eq\f(1,－i)＝－i－eq\f(i,－i·i)＝－2i.答案：－2i9．解：(1)eq\f(－1