第九节棱锥考点透视1、本节高考要求1、理解棱锥的概念特别是正棱锥的概念2、掌握棱锥的性质尤其是正棱锥的性质3、会画正棱锥的直观图4、能利用棱锥的性质解决有关的实际问题。2、本节考点分析1高考对棱锥的考查在题型上说既有选择题、填空题又有大题从难易上说有高、中、低三个档次的题出现2对棱锥的考查常常是以棱锥做为载体考查棱锥中的线线、线面、面面等有关的位置关系考查棱锥中的有关空间角与空间距离考查棱锥的有关的体积或面积的计算3在解有关棱锥的题中往往对学生割补图形和空间想象能力的要求较高。知识网络1、棱锥与正棱锥的概念1棱锥的定义如果一个多面体的一个面是多边形其余各面是有一个公共顶点的三角形那么这个多面体叫做棱锥。2正棱锥的定义如果一个棱锥的底面是正多边形并且顶点在底面的射影是底面的中心这样的棱锥叫做正棱锥。2、棱锥的性质名称性质棱锥1底面是多边形各侧面是有一个公共顶点的三角形2平行于底面的截面与底面相似且截面面积与底面面积的比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。正棱锥1底面是正多边形顶点在底面的射影为底面正多边形的中心2各侧棱相等各侧面都是全等的等腰三角形各等腰三角形底边上的高相等它们叫做正棱锥的斜高3正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影构成一个直角三角形正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也构成一个直角三角形。3、面积底侧全SSS底中截面SS414、体积hSV底棱锥31典例精析例1、2004年湖南卷把正方形ABCD沿对角线AC折起当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时直线BD和平面ABC所成的角的大小为CA900B600C450D300解析此种题关健注意折前展后在同一平面内的位置关系与度量保持不变根据题意不难分析出当折成B—AC—D为900的二面角时体积最大正方形的对角线BD被折成两段OD、OB此时OB与OD所成的角即为BD与平面ABC所成的角易知ΔODB为直角三角形∴∠DBO450故选C例2、2004年湖南卷如图在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中260aPDPBaACPAABC点E在PD上且PEED211证明PA⊥平面ABCD2求以AC为棱EAC与DAC为面的二面角θ的大小3在棱PC上是否存在一点F使BF∥平面AEC证明你的结论。1证∵底面ABCD是菱形∠ABC600∴ABADACa在ΔPAB中由PA2AB22aPB2可知PA⊥AB同理PA⊥AD∴PA⊥平面ABCD2解作EG∥PA交AD于G由PA⊥平面ABCD知EG⊥平面ABCD作GH⊥AC于H连结EH则EH⊥AC∴∠EHG为二面角的平面角又PEED21∴EGa31AGa32GHAGsin600a33从而33tanGHEG∴3003解方法1传统法当F是棱PC的中点时BF∥平面AEC证明如下取PE的中点M连结FM则FM∥CE由EMEDPE21知E是MD的中点连结BMBD设BD∩ACO则O为BD的中点∴BM∥OE从而平面BFM∥平面AEC又BF平面BFM∴BF∥平面AEC方法2向量法∵DECDADDPCDADCPBCBF23212121ACAEADAEACADAD21232321∴ACAEBF共面又BF平面BFM∴BF∥平面AEC方法3向量坐标法如图建立空间坐标系A—xyz则A000B02123aaC02123aaD0a0P00aE0aa3132∴ACaaAE3132002123aa00aAPPCaaa2123BPaaa2123设点F是棱PC上的点PCPFaaa2123其中10则PFBPBFaaa2123aaa21231121123aaa令AEnACmBF则有BDCGEHAPBDCOAEFMPEFDyCxABPzanaanamaama311322112123123解之得232121nm∴ACAEBF2123此时F是PC的中点ACAEBF共面又BF平面BFM∴BF∥平面AEC例3、2006年重庆卷如图在四棱锥PABCD中PA底面ABCDDAB为直角AB‖CDADCD24B、E、F分别为PC、CD的中点。Ⅰ试证CD平面BEFⅡ设PAk·AB且二面角E-BD-C的平面角大于30求k的取值范围。解法一Ⅰ证由已知DF∥AB且DAD为直角故ABFD是矩形从而CDBF又PA底面ABCDCDAD故由三垂线定理知CDPD在△PDC中E、F分别PC、CD的中点故EF∥PD从而CDEF由此得CD面BEFⅡ连结AC交BF于G易知G为AC的中点连接EG则在△PAC中易知EC∥PA又因PA底面ABCD故BC底面ABCD在底面ABCD中过C作GHBD垂足为H连接EH由三垂线定理知EHBD从而EHG为二面角E-BD-C的平面角。设ABa则在△PAC中有BG21PA21ka连结GD因S△CBD21BD·GH21GB·OF故GHBDDFGB在△ABD中因为ABaAD2a得BD5a而GB21FB21AD-a.D