《数学物理方程》讲义第一章波动方程齐海涛2010年9月30日目录1方程的导出、定解条件2达朗贝尔公式、波的传播3初边值问题的分离变量法4高维波动方程的柯西问题5波的传播与衰减6能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性1371013141方程的导出、定解条件例1.1细杆(或弹簧)受某种外界原因而产生纵向振动,以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移.假设振动过程中所发生的张力服从胡克定律,试证明u(x,t)满足方程()()??u??uρ(x)=E,?t?t?x?x其中ρ为杆的密度,E为杨氏模量.解:由细杆的假设,在杆的垂直与杆的每一个截面上的每一点力与位移的情形是相同的.取杆的左端截面的形心为原点,杆轴为x轴.任取(x,x+?x)上的小段B为代表加以研究.t时刻,B的两端位移分别记作u(x,t)和u(x+?x,t)=u(x,t)+?u,B段的伸长为u(x+?x,t)?u(x,t)=?u,相对伸长则为u(x+?x,t)?u(x,t)?u?u==(x,t),?x?x?x?x→0.由Hooke定律,B两端的张力分别为E(x)ux|x,E(x)ux|x+?x.B段的运动方程为Sρ(x)?x?2u(x,t)=E(x)Sux|x+?x?E(x)Sux|x?t2其中S为细杆截面面积,x为B段重心坐标.约去S,令?x→0,有()()?u??u?ρ(x)=E(x).?t?t?x?x1山东大学威海分校1方程的导出、定解条件例1.2在杆纵向振动时,假设(1)端点固定,(2)端点自由,(3)端点固定在弹性支撑上,试分别导出这三种情况下所对应的边界条件.解:(1)u(0,t)=u(l,t)=0;(2)端点自由,即端点处无外力作用.在左端点SE(0)?u(0,t)=0,即?u(0,t)=0.?x?x同理右端点?u(l,t)=0.?x(3)端点固定在弹性支承上,端点受的外力与支撑的变形成比例.如左端有弹性支承,弹性系数设为k,则()?uk?u?+hu=0h=.SE(0)(0,t)=ku(0,t),?x?xE(x)Sx=0同理右端:()?u+hu?x=0.x=l例1.3试证:圆锥形枢轴的纵向振动方程为[](?(x)2?ux)2?2uE1?=ρ1?,?xh?xh?t2其中h为圆锥的高.解:仿照第一题有(R为圆锥的底面半径)ρV(x)其中?u?u?2u(x,t)=ES(x+?x)(x+?x,t)?ES(x)(x,t)?t2?x?x(x)2S(x)=πR21?.h(x)2V(x)=πR21??x+o(?x),h令?x→0,即得结论.例1.4绝对柔软而均匀的弦线有一端固定,在它本身重力作用下,此线处于铅垂的平衡位置,试导出此线的微小横振动方程.解:设弦长为l,取弦上端点为原点,取铅垂向下的轴为x轴.设u(x,t)为时刻t,x处的横向位移.取位于(x,x+?x)的微元进行分析,由绝对柔软的假设,弦的张力T的方向总是沿弦的切线方向.又由微小振动的假设ux?1.因此认为弦在振动过程中不伸长,且张力T与时间无关.考察受力平衡(α1,α2为张力T的方向与竖直线的夹角)T(x+?x)cosα2?T(x)cosα1=?ρg?x,(1)T(x+?x)sinα2?T(x)sinα1=ρ?xutt.由(1)知dT=?ρgdx?T=?ρgx+C.(2)齐海涛htqi2008@gmail.com2山东大学威海分校而x=0时,T(0)=ρgl,知C=ρgl,所以T(x)=ρg(l?x).又sinα2≈tanα2=?u(x+?x,t),?xx.x.+?x2达朗贝尔公式、波的传播O..?usinα1≈tanα1=(x,t).?x由(2)知[]??u(x)?2uT(x)=ρ2?x?x?t[]?2u??u?=g(l?x).?t2?x?xT.T.x.例1.5一柔软均匀的细弦,一端固定,另一端是弹性支承.设该弦在阻力与速度成正比的介质中作微小的横振动,试写出弦的位移所满足的定解问题.解:k,σ为正常数??utt?a2uxx+kut=0,0<x<l,t>0,??u|t=0=φ(x),ut|t=0=ψ(x),??u|x=0=0,?(ux+σu)|x=l=0.例1.6若F(ξ),G(ξ)均为其变元的二次连续可导函数,验证F(x?at),G(x+at)均满足弦振动方程(1.11).√例1.7验证u(x,y,t)=1/t2?x2?y2在锥t2?x2?y2>0中满足波动方程utt=uxx+uyy.2达朗贝尔公式、波的传播例2.1证明方程[]?(x)2?u1(x)2?2u1?=21??xh?xah?t2(h>0常数)的通解可以写成u=F(x?at)+G(x+at